新高考数学二轮复习提升讲与练专题02数列 第2讲 数列求通项（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题02数列 第2讲 数列求通项（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
第2讲 数列求通项
一、考点透析
考点1 定义法求通项
1.(2025·江西省南昌市·期中)设Tn为数列an的前n项积，已知an+1Tn+1−anTn=2，则a2025=( )
A. 20242025B. 20252026C. 40484049D. 40494051
【答案】D
【解析】解：因为an+1Tn+1−anTn=2，且a1T1=1，
所以数列{anTn}是首项为1，公差为2的等差数列．
所以anTn=1+2(n−1)=2n−1，
所以an=2n−1Tn．
当n⩾2时，an−1=2n−3Tn−1，
两式相除得：anan−1=(2n−1)Tn(2n−3)Tn−1=(2n−1)an2n−3，
所以an−1=2n−32n−1n⩾2，所以an=2(n+1)−32(n+1)−1=2n−12n+1，
所以a2025=2×2025−12×2025+1=40494051．
故选：D．
考点2 由递推关系求通项
方向1 累加法与累乘法
1.已知数列{an}中，a1＝1，1an+1－1an＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
【答案】2n（n+1）
【解析】由题意得，1a2－1a1＝2，1a3－1a2＝3，1a4－1a3＝4，…，1an－1an－1＝n（n≥2），
累加得，1an－1a1＝2＋3＋4＋…＋n，
又a1＝1，所以1an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n+1）2，
所以an＝2n（n+1）.
2.(2025·河南省·联考)如图，在△OMN的边OM和ON上，分别分布着一系列点M1，M2，⋯，Mn，⋯和N1，N2，⋯，Nn，⋯，使得MnNn//Mn+1Nn+1，且所有梯形MnNnNn+1Mn+1的面积均相等.设an=OMn，其中a1=1，a2=2，△OM1N1的面积为1．
(1)求梯形M1N1N2M2的面积;
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）3；
（2）an= 3n−2
【解析】(1)由MnNn//Mn+1Nn+1，故△OMnNn∽△OMn+1Nn+1．
∵a1=1，a2=2，
∴由面积之比为相似比的平方，
得S△OM2N2=(a2a1)2S△OM1N1=4．
∴梯形M1N1N2M2的面积为S△OM2N2−S△OM1N1=3．
(2)∵△OMnNn∽△OMn+1Nn+1，且所有梯形MnNnNn+1Mn+1的面积均相等，
∴S△OM1N1+nS梯形M1N1N2M2S△OM1N1+(n−1)S梯形M1N1N2M2=(an+1an)2，
解得an+1an= 3n+13n−2，
当n⩾2时，
an=a1×a2a1×⋯×anan−1
=1× 41× 74×⋯× 3n−23n−5= 3n−2，
又a1=1满足上式，
所以an= 3n−2．
方向2 构造法求通项
1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟)如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入A区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过n次随机选择后仓鼠在A区域的概率为xn，则( )
A. x1=0B. xn+12=xnxn+2C. x2n+1>x2n−1D. x2n−1+x2nx2n−1，故C正确;
对于D，因为x2n−1=14−14⋅(−13)2n−2=14−14⋅(13)2n−2，x2n=14−14⋅(−13)2n−1=14+14⋅(13)2n−1，
所以x2n−1+x2n=12+14[(13)2n−1−(13)2n−2]=12−16⋅(13)2n−2an
C. 1an的前n项和Sn=2n+1−n−2
D. 2nanan+1的前n项和Tn=1−12n+1−1
【答案】ACD
【详解】由an+1=an2+an得2an+1+anan+1=an，化简得2an+1=1an+1，即21an+1=1an+1+1，
所以1an+1+11an+1=2，因为1a1+1=2，所以1an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确；
由1an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得1an+1=2×2n−1=2n，
求得1an=2n−1，an=12n−1，
可知2n−1恒正，且随着n的增大而增大，所以an=12n−1随着n的增大而减小，所以B错误；
由1an=2n−1可得Sn=21−1+22−1+ ⋯+2n−1=21−2n1−2−n=2n+1−n−2，所以C正确；
由2nanan+1=2n⋅12n−1⋅12n+1−1=12n−1−12n+1−1，
得Tn=12−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1，
所以D正确；
故选：ACD．
2.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟)已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1．
(1)证明：数列1an为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：13⩽Sn0，且12(2n+1)随着n的增大而减小，
∴Snc8