新高考数学二轮专题复习《数列》专练第02讲 等比数列讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题复习《数列》专练第02讲 等比数列讲义（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考查定位与分值， 高频考查题型与内容， 核心考查思想与能力， 命题趋势， 解题核心思想总结等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc25335" 思维导图 PAGEREF _Tc25335 \h 3
\l "_Tc21062" 高考分析 PAGEREF _Tc21062 \h 3
\l "_Tc16819" 学习目标 PAGEREF _Tc16819 \h 4
\l "_Tc31120" 知识要点 PAGEREF _Tc31120 \h 5
\l "_Tc17665" 解题策略 PAGEREF _Tc17665 \h 14
\l "_Tc14660" 题型归纳 PAGEREF _Tc14660 \h 15
\l "_Tc2468" 题型01：等比数列的定义 PAGEREF _Tc2468 \h 15
\l "_Tc15928" 题型02：等比数列的判断与证明 PAGEREF _Tc15928 \h 20
\l "_Tc26578" 题型03：等比中项的应用 PAGEREF _Tc26578 \h 30
\l "_Tc11187" 题型04：等比数列通项公式基本量的计算 PAGEREF _Tc11187 \h 33
\l "_Tc6643" 题型05：等比数列的性质 PAGEREF _Tc6643 \h 45
\l "_Tc28083" 题型06：等比数列函数特征 PAGEREF _Tc28083 \h 52
\l "_Tc29283" 题型07：等比数列的单调性 PAGEREF _Tc29283 \h 57
\l "_Tc4661" 题型08：构造等比数列求数列的通项公式 PAGEREF _Tc4661 \h 68
\l "_Tc24588" 题型09：等比数列前n项和的基本量计算 PAGEREF _Tc24588 \h 80
\l "_Tc2512" 题型10：等比数列片段和的性质 PAGEREF _Tc2512 \h 84
\l "_Tc16667" 题型11：等比数列的奇数项与偶数项和 PAGEREF _Tc16667 \h 88
\l "_Tc29225" 题型12：等比数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc29225 \h 95
\l "_Tc15391" 题型13：an与Sn的关系 PAGEREF _Tc15391 \h 101
\l "_Tc24843" 题型14： 等比数列“高斯”积 PAGEREF _Tc24843 \h 106
\l "_Tc23373" 题型15：“纠缠数列” PAGEREF _Tc23373 \h 109
\l "_Tc7458" 题型16：比值型不定方程 PAGEREF _Tc7458 \h 111
\l "_Tc17093" 题型17：等比数列特性：前n项积 PAGEREF _Tc17093 \h 113
\l "_Tc22953" 题型18：等比数列与1比较型不等式判断 PAGEREF _Tc22953 \h 116
\l "_Tc25091" 题型19：插入数型等比 PAGEREF _Tc25091 \h 119
\l "_Tc29847" 题型20：等比数列恒成立型求参 PAGEREF _Tc29847 \h 121
\l "_Tc16870" 题型21：等比型下标数列 PAGEREF _Tc16870 \h 125
\l "_Tc29444" 题型22：等比数列求范围型 PAGEREF _Tc29444 \h 127
\l "_Tc23546" 题型23：等比数列与三角函数综合 PAGEREF _Tc23546 \h 129
\l "_Tc5596" 题型24：等比数列的简单应用 PAGEREF _Tc5596 \h 131
\l "_Tc3290" 题型25：等比数列的奇偶项讨论问题 PAGEREF _Tc3290 \h 143
\l "_Tc28963" 巩固提升 PAGEREF _Tc28963 \h 147
等比数列是高考数学的常考核心内容，和等差数列共同构成数列知识体系两大基石， 兼具基础性、综合性与应用性，近三年高考中该知识点相关分值在5-17分，是学生必须吃透的模块。
一、 考查定位与分值
1. 分值占比：单独考查或与其他知识点综合考查，分值5-17分。选择题、填空题单独考查时分值多为5分；解答题综合考查时，如2024新高考Ⅱ卷第19题，分值可达17分。
2. 难度梯度：小题以基础题为主，侧重公式和性质的简单运用，属于保分题；解答题多为中档题，常位于试卷17、18题位置，是学生需力争满分的题型；偶尔会在压轴题中以综合形式出现，难度偏大。
3. 核心地位：是函数、不等式、解析几何等知识综合考查的重要载体，也是后续大学极限、无穷递缩等比数列求和知识的基础，高考中考查频率极高且地位稳固。
二、 高频考查题型与内容
1. 基础小题（选择/填空）：核心考查基本量计算，围绕首项、公比、通项、前n项和 这几个量考“知三求二”；同时会考查等比中项、下标和性质、片段和性质，偶尔涉及奇偶项求和的简单计算，题目直白易得分。
2. 中档解答题：最经典考法是 证明数列是等比数列，再结合通项公式、前n项和公式求解；还常与等差数列结合出题，或是考查错位相减法求等差×等比型数列的和，是该模块核心解答题型。
3. 高阶综合题：多作为压轴或次压轴题的一部分，和函数结合研究数列单调性、最值；和不等式结合用放缩法证明数列不等式、求参数范围；也会与解析几何、概率统计交叉命题，用来拉开分数差距。
4. 实际应用题：以指数增长/衰减为核心背景，考查复利计息、人口增长、放射性物质衰变等实际问题，核心是让学生将实际场景抽象成等比数列模型求解，是近年命题热点。
三、 核心考查思想与能力
1. 数学思想：分类讨论思想是重中之重，使用前n项和公式必须讨论公比q是否为1；同时侧重考查方程思想、函数与方程思想、转化与化归思想，比如将非等比数列构造转化为等比数列求解。
2. 核心素养：着重考查数学运算（公式求解、错位相减运算）、逻辑推理（等比数列的证明）、数学抽象（实际问题建模）三大核心素养，运算的准确性和推理的严谨性是得分关键。
四、 命题趋势
1. ** 重通法轻技巧**：减少复杂繁琐的计算题型，更多考查公式本质、基础性质和通性通法，弱化特殊解题技巧，强调对核心知识点的理解。
2. ** 强应用重建模**：越来越注重结合生活实际和科技场景出题，强化学生从实际问题中提炼等比数列模型的能力，应用题占比有所提升。
3. ** 增开放探素性**：压轴题中频繁出现等比数列相关的新定义、新情景题，以及存在性、探索性问题，综合性强，以此考查学生的创新思维和灵活解题能力。
结合高考考纲要求，分3层设定学习目标，兼顾基础夯实、能力提升与高考适配，适配教学/备考需求
一、 基础目标（保底层，对应高考基础题，必拿分）
1. 牢记等比数列定义：能精准区分等差数列与等比数列本质差异。
2. 熟记核心公式，做到灵活套用：
3. 掌握2个基础性质：会用等比中项；能运用下标和性质简化计算。
4. 搞定基本量运算：熟练完成“知三求二”，运算零失误，尤其注意q=1的特殊情况讨论。
二、 能力目标（提分层，对应高考中档题，争满分）
1. 具备严谨推理能力：能根据定义证明一个数列是等比数列（定义法、等比中项法），步骤规范、逻辑严谨。
2. 掌握核心解题技法：熟练用错位相减法求“等差×等比”型数列的前n项和（高考解答题高频考点）；会用片段和性质快速解题。
3. 具备转化与构造能力：能通过变形构造等比数列，求解非等比数列的通项公式。
4. 突破分类讨论难点：主动规避易错点，在使用前n项和、讨论奇偶项求和、求参数范围时，精准讨论q=1、q=-1的特殊情况。
三、 拔高目标（冲分层，对应高考综合/压轴题，拉差距）
1. 适配综合考查需求：能将等比数列与函数、不等式、解析几何等知识结合，解决单调性、最值、参数范围问题。
2. 掌握高阶解题思想：熟练运用放缩法证明等比数列相关不等式；能用函数思想分析等比数列的项的变化规律。
3. 具备建模应用能力：能从复利、人口增长、衰变等实际场景中，抽象出等比数列模型，完成实际应用题的建模与求解。
4. 应对创新题型：能解读等比数列相关新定义、新情景题，解决探索性、存在性问题，提升解题灵活性与创新思维。
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然定义还可以叙述为：在数列中，若(为常数且，则是等比数列.
注意：
(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列.
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒.
(3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数，但是这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列.
(4)若一个数列不是从第2项起，而是从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列.
(5)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列.因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列.
（6）等比数列的公比：，，，
知识点二：等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项.
由等比中项的定义可知，.反之，若，则，即，，成等比数列.综上，，，成等比数列.
注意：
(1)在等比数列中，任取相邻的三项，，，则是与的等比中项.由此可得等比数列的第二种判定方法——等比中项法，即判断是否成立.
(2) “，，成等比数列”与“”是不等价的.前者可以推出后者，但后者不能推出前者.如，，满足，而，，不成等比数列.因此“，，成等比数列”是“”的充分不必要条件.
(3)等差中项与等比中项的区别：
= 1 \* GB3 ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
= 2 \* GB3 ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数.
(4)由等比中项可知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致.
知识点三：等比数列的通项公式
1．等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是
注意：
(1)已知首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)在通项公式中，有，，，四个基本量，如果已知其中的三个可求出第四个量.
(3)可以利用通项公式来判断数列是否为等比数列.
(4)在记忆通项公式时，要注意的指数比项数小这一特点.
2．等比数列通项公式的推导
(1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，，，，，，归纳得.
当时，上面的等式两边均为，所以等式也成立，因此当时，成立.需要注意的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明.
(2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知，，，，.上述个等式两边分别相乘，得，所以当时等式也成立.
(3)方法三(迭代法)：由于数列是等比数列，所以当时，等式也成立.
求等比数列通项公式的常用方法总结如下：
（1）.定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式.
（2）.公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式来求。
（3）.递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：
①是配常数转化为等比数列，从而再求通项
②取倒数转化为等比数列，从而再求通项.
（4）.利用与的关系：与的关系为，把转化为的递推关系式，再求通项.
（5）.实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究与的关系，求等比数列的通项.等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题.
3．等比数列通项公式的变形
∵是等比数列，∴∴，∴
注意：
(1)在已知等比数列中任一项及公比的前提下，可以利用求等比数列中的任意一项；
(2)已知等比数列中的和两项，就可以使用求公比，其中可大于，也可小于.
知识点四：等比数列与指数函数的关系
等比数列的图象
等比数列的通项公式，还可以整理为，当且时，等比数列的第项是函数
当时的函数值，即.因此等比数列的图象是函数图象上的一些孤立的点.
(n，an)组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
知识点五 等比数列的单调性
等比数列中，，若设，则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点.
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列.
（3）当时，等比数列是摆动数列.
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
等比数列{an}的增减性如下表．
（4）等比数列{an}，当公比q0且q≠1时，y=是指数函数，等比数列前n项和的图象是是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.
Sn与an的关系
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,
设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.
知识点九：等比数列及其前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1) .
(2) 若为等比数列，则
= 1 \* GB3 ①当时，为奇数，数列，，，成等比数列
= 2 \* GB3 ②当时，数列，，，成等比数列
(3) 若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
(4)若，则成等比数列.
知识点十：等比数列的判断证明方法
（1）用定义：对任意的，都有为等比数列
（2）等比中项：为等比数列
（3）通项公式：为等比数列
（4）求和公式：
注意：
a.当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，则Sn=a11−qn1−q=a1−anq1−q .
b.Sn+m=Sn+qnSm=Sm+qmSn；当q≠1时，SnSm=1−qn1−qm .
c.Sk,S2k−Sk,S3k−S2k…，当q≠−1时为等比数列 .当q=−1时，若k为偶数，则不是等比数列；若k为奇数，则是公比为1的等比数列 .
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
拓展点一：方法技巧与总结
1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等比数列可设为：，，或，，；
（ii）四个数成等比数列可设为：，，，或，，，.
拓展点二：构造等比数列的常见类型
当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出.常见的有如下类型.
(1)可化归为，当时，数列为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题，也可消去常数项：由，，两式相减，得当时，数列为公比为的等比数列.
(2)，可化归为,或将递推关系式两边同除以化为型，或两边同除以运用累加法求通项公式.
(3)，可化归为，即型.
（更多构造成正比在第04讲通项公式中有详细讲解）
结合高考高频题型，分基础、中档、拔高三类题型给解题策略，附易错规避技巧，适配备考/教学需求
一、 基础题型解题策略（选择/填空保分，5分稳拿）
基础题核心考基本量运算+基础性质，主打“快准狠”，优先用性质简化，再用公式计算
1. 基本量“知三求二”题：核心用方程思想，锁定a1,q两个核心量，将已知条件全部转化为关于a1,q的方程/方程组求解；
2. 性质活用题（等比中项/下标和）：①等比中项题直接套an+12=anan+2，注意验证an+1≠0；②下标和题，看到m+n=p+k，直接用aman=apak，秒简化计算，无需算通项。
3. 片段和相关题：用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比的性质，前提必须先判断q≠-1（若q=-1且n为偶数，片段和为0，不成等比），优先用性质，比硬算Sn快3倍。
二、 中档题型解题策略（解答题争满分，17分主攻）
中档题核心考证明+求和+构造，主打“步骤规范+方法精准”，每一步踩准得分点
1. 等比数列证明题（2大核心法，步骤必规范）
◦ 定义法（高考首选，得分率最高）：①作比an+1an；②化简证明比值为非零常数；③下结论（加a1≠0前提）。
◦ 等比中项法：证明an+12=anan+2（n≥1），且an≠0，需验证首项和第二项的比值，避免首项为0的陷阱。
2. 错位相减法求和（等差×等比型，必考技法）
四步标准流程（规避漏项/符号错）：①写Sn表达式；②两边乘等比数列公比q，得qSn；③两式相减，对齐同次项，注意符号（减号变号）；④化简，公比q≠1，最后验证首项，整理结果。
3. 构造等比数列求通项（an+1=kan+1+b型）
核心转化法：设an+1+λ=k(an+1+λ)，解出λ（k≠1）；构造出{an+λ}是等比数列，先求该数列通项，再反推an；k=1时为等差数列，直接用等差公式。
三、 拔高题型解题策略（综合/压轴题拉差距）
拔高题核心考综合应用+思想方法，主打“知识联动+思想落地”
1. 等比数列+函数/不等式：①结合函数：把an、Sn看作关于n的函数，用函数单调性求最值，注意n∈N*；②结合不等式：用放缩法（常放缩为等比数列求和），如an≤b·qn−1，再用无穷递缩等比数列求和放缩证明。
2. 等比数列+参数范围题：①分类讨论q=1和q≠1；②结合数列单调性（an+1>an）或Sn的范围，列不等式求解；③验证参数是否满足an≠0、q≠0的前提。
3. 实际应用题：三步建模法：①审题提取关键量，判断是“指数增长/衰减”，确定为等比数列模型；②设首项a_1（初始量）、公比q（增长/衰减率）；③套通项或求和公式，结合实际意义（n为正整数）求解，验证结果合理性。
四、 高考易错点解题规避策略（反向保底，少丢分）
1. 3大核心易错点规避
◦ 易错1：忽略前提条件→解题先写“等比数列中a_n≠0，q≠0”，用S_n必先判q=1。
◦ 易错2：错位相减漏项→相减时逐行对齐，末尾补0，相减后检查中间项是否完整。
◦ 易错3：片段和性质误用→用前先验证q≠-1，若q=-1，分n奇偶数讨论。
2. 运算易错规避：分式化简先因式分解，符号问题重点关注，结果必须化为最简形式（分数/整式）。
五、 解题核心思想总结（通法兜底）
1. 优先用性质，再用公式，能简化计算的绝不硬算；
2. 始终牢记分类讨论（q=1、q=-1），是等比数列解题的核心；
3. 遇非等比数列，优先想转化构造，遇综合题，优先拆分核心（先拆等比数列部分）。
题型01：等比数列的定义
【典型例题1】已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为 .(只需写出一组)
【答案】，，（答案不唯一）
【解析】根据等差数列的通项公式，写出数列的部分项，根据观察法，即可得出结果.
因为数列的通项公式为，
所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，
显然，
所以，，能构成等比数列.
故答案为：，，
【典型例题2】已知数列的通项公式为，则数列是（ ）
A．以1为首项，为公比的等比数列B．以3为首项，为公比的等比数列
C．以1为首项，3为公比的等比数列D．以3为首项，3为公比的等比数列
【答案】A
【解析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.
因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
故选：A
【变式训练1-1】若数列对任意正整数n都有，则（ ）
A．17B．18C．34D．84
【答案】B
等比数列的定义、由递推关系式求通项公式
【解析】根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值.
因为，
所以时，，
两式相减，得，即，
又时，得也适合，
所以时，，
所以．
故选：B．
【变式训练1-2】已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等比数列，则是等比数列
C．若是等差数列，则是等比数列
D．若是等比数列，则是等差数列
【答案】C
判断等差数列、等比数列的定义
【解析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项.
对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数，
所以，数列是等比数列，
但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对；
对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为，
则不是常数，故数列不是等比数列，
不是常数，故数列不是等差数列，BD都错.
故选：C.
【变式训练1-3】在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
等比数列的定义、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【解析】设等差数列的公差为，则，根据题中条件可得出关于的方程，求出的值，可得出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和.
设等差数列的公差为，则，所以，，
所以，，，
因为、、成等比数列，则，即，
即，
因为，则，所以，，
对任意的，，
所以，的前项和为
.
故选：A.
【变式训练1-4】已知数列满足，若是等比数列，则 ．
【答案】
【解析】由题意，由此有，解出即可．
解：∵是等比数列，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-5】已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 .
【答案】 4
【解析】根据数列递推式即可求得，根据等比数列的通项公式即可求得.
由题意数列的首项，且，
那么；
由此可知，故，则数列为首项是，公比为2的等比数列，
故，首项也适合该式，
故答案为：4；
【变式训练1-6】已知数列中，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.
数列中，
则，否则与矛盾，
故，即数列为首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
故答案为：
【变式训练1-7】已知数列满足，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】由等比的定义结合其性质得出的值.
因为，，所以数列为等比数列，设其公比为，
由，，得，所以，
所以，
所以.
综上，的值为.
故答案为：1
【变式训练1-8】在各项均为负数的数列中，已知．且．
（1）求的通项公式；
（2）试问是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）;（2）是这个数列中的项，是第6项
【解析】解：（1）．，又∵数列的各项均为负数，，
∴数列是以为公比的等比数列，，
，，又，
，又，，．
（2）令，则，，
是这个数列中的项，且是第6项．
【变式训练1-9】已知等比数列的首项为，公比．
(1)求；
(2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析
【解析】（1）由等比数列的通项公式可知；
（2），
设18是数列中的第n项，则，
化简得，因为这个方程无正整数解，
所以18不是数列中的项．
题型02：等比数列的判断与证明
【典型例题1】“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用等比数列的定义说明充分性，举反例说明不必要即可得解.
若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列.
假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列.
故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
【典型例题2】已知数列an满足a1=2，则“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
若an为等比数列，则an=2qn−1，
所以am⋅an=2qm−1×2qn−1=4qm+n−2，am+n=2qm+n−1，
当q≠2时am⋅an≠am+n，故充分性不成立；
若am⋅an=am+n（∀m，n∈N*），不妨令m=1，则a1⋅an=a1+n，又a1=2，
所以2an=an+1，即an+1an=2，所以an为公比为2的等比数列，故必要性成立；
故“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的必要不充分条件.
故选：B.
【典型例题3】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若满足，则一定是等差数列
B．若满足，则一定是等比数列
C．若，则既是等差数列也是等比数列
D．若成等比数列，则
【答案】AD
【解析】借助等差数列与等比数列的性质逐项判断即可得.
对A：由满足，则是的等差中项，
故一定是等差数列，故A正确；
对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误；
对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误；
对D：若成等比数列，设公比为，
则有，，则，故D正确.
故选：AD.
【典型例题4】已知数列的首项，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
【答案】(1)证明见详解
【解析】（1）因为，，
所以，，又，
所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列.
【变式训练2-1】等差数列an的前项n和为Sn，且an∈N∗，数列bn为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列2an一定是等比数列B．数列ban一定是等比数列
C．数列Snn一定是等差数列D．数列bn+bn+1一定是等比数列
【答案】D
【解析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果.
因为数列an是等差数列，设其通项公式为an=a1+(n−1)d，
所以2an+12an=2an+1−an=2d是定值，所以数列2an一定是等比数列，A选项正确;
因为数列bn为等比数列，设其通项公式为bn=b1qn−1，
所以ban=b1qan−1,ban+1ban=b1qan+1−1b1qan−1=qan+1−an=qd是定值，
所以数列ban一定是等比数列，B选项正确;
因为Sn=n2a1+(n−1)d2，所以Snn=2a1+(n−1)d2=a1+(n−1)⋅d2，
所以数列Snn一定是等差数列，C选项正确;
当bn=(−1)n时，bn+bn+1=0，则{bn+bn+1}不是等比数列，D选项错误，
故选：D.
【变式训练2-2】已知数列{an}满足a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}B．{an−3}C．an+1+anD．an+1−an
【答案】D
【解析】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断ABC；由数列的递推式推得an+2−an+1=13(an+1−an)，可判断D．
由a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，
可得3a3+a1=4a2，即3a3+1=16，解得a3=5，
又3a4+a2=4a3，即3a4+4=20，解得a4=163，
由a1+3=4，a2+3=7，a3+3=8，72≠4×8，故A错误；
由a1−3=−2，a2−3=1，a3−3=2，12≠−2×2，故B错误；
由a2+a1=5，a3+a2=9，a4+a3=313，92≠5×313，故C错误；
由3an+2+an=4an+1，可得3(an+2−an+1)=an+1−an，
即为an+2−an+1=13(an+1−an)，又a2−a1=3，可得{an+1−an}是首项为3，公比为13的等比数列，故D正确．
故选：D.
【变式训练2-3】已知“正项数列an满足an+1⋅an=4n”，则“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由an+1⋅an=4n可得正项数列an隔项成等比数列，再由a2=2a1结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
因为an+1⋅an=4n，所以an+2⋅an+1=4n+1，
两式相除可得：an+2⋅an+1an+1⋅an=4n+14n=4，
所以an+2an=4，
所以当n=2k，则a2k+2a2k=4，所以a2k是以a2为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k=a2⋅4k−1=a2⋅22k−1=a2⋅22k−2，
所以当n=2k−1，则a2k+1a2k−1=4，所以a2k−1是以a1为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k−1=a1⋅4k−1=a1⋅22k−2，
当a2=2a1，则a2k=2a1⋅22k−2=a1⋅22k−1，a2k−1=a1⋅22k−1−1，
所以数列an为公比为2的等比数列，
所以“a2=2a1”能推出“数列an为等比数列”，
若数列an为等比数列，则公比为2，故a2=2a1，
所以“数列an为等比数列”能推出“a2=2a1”.
故“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的充要条件.
故选：C.
【变式训练2-4】已知数列的前项和为，若，则有（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．为等差数列D．为等比数列
【答案】B
【解析】AB选项，当得，解得，
①，当时，，②
式子①-②得，故，
所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确；
CD选项，由于，故，故不是等差数列，
由于，故不是等比数列，CD错误.
故选：B
【变式训练2-5】已知数列an满足a1=2，则“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
若an为等比数列，则an=2qn−1，
所以am⋅an=2qm−1×2qn−1=4qm+n−2，am+n=2qm+n−1，
当q≠2时am⋅an≠am+n，故充分性不成立；
若am⋅an=am+n（∀m，n∈N*），不妨令m=1，则a1⋅an=a1+n，又a1=2，
所以2an=an+1，即an+1an=2，所以an为公比为2的等比数列，故必要性成立；
故“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式训练2-6】等差数列an的前项n和为Sn，且an∈N∗，数列bn为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列2an一定是等比数列B．数列ban一定是等比数列
C．数列Snn一定是等差数列D．数列bn+bn+1一定是等比数列
【答案】D
【解析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果.
因为数列an是等差数列，设其通项公式为an=a1+(n−1)d，
所以2an+12an=2an+1−an=2d是定值，所以数列2an一定是等比数列，A选项正确;
因为数列bn为等比数列，设其通项公式为bn=b1qn−1，
所以ban=b1qan−1,ban+1ban=b1qan+1−1b1qan−1=qan+1−an=qd是定值，
所以数列ban一定是等比数列，B选项正确;
因为Sn=n2a1+(n−1)d2，所以Snn=2a1+(n−1)d2=a1+(n−1)⋅d2，
所以数列Snn一定是等差数列，C选项正确;
当bn=(−1)n时，bn+bn+1=0，则{bn+bn+1}不是等比数列，D选项错误，
故选：D.
【变式训练2-7】已知数列{an}满足a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}B．{an−3}C．an+1+anD．an+1−an
【答案】D
【解析】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断ABC；由数列的递推式推得an+2−an+1=13(an+1−an)，可判断D．
由a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，
可得3a3+a1=4a2，即3a3+1=16，解得a3=5，
又3a4+a2=4a3，即3a4+4=20，解得a4=163，
由a1+3=4，a2+3=7，a3+3=8，72≠4×8，故A错误；
由a1−3=−2，a2−3=1，a3−3=2，12≠−2×2，故B错误；
由a2+a1=5，a3+a2=9，a4+a3=313，92≠5×313，故C错误；
由3an+2+an=4an+1，可得3(an+2−an+1)=an+1−an，
即为an+2−an+1=13(an+1−an)，又a2−a1=3，可得{an+1−an}是首项为3，公比为13的等比数列，故D正确．
故选：D.
【变式训练2-8】已知“正项数列an满足an+1⋅an=4n”，则“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由an+1⋅an=4n可得正项数列an隔项成等比数列，再由a2=2a1结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
因为an+1⋅an=4n，所以an+2⋅an+1=4n+1，
两式相除可得：an+2⋅an+1an+1⋅an=4n+14n=4，
所以an+2an=4，
所以当n=2k，则a2k+2a2k=4，所以a2k是以a2为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k=a2⋅4k−1=a2⋅22k−1=a2⋅22k−2，
所以当n=2k−1，则a2k+1a2k−1=4，所以a2k−1是以a1为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k−1=a1⋅4k−1=a1⋅22k−2，
当a2=2a1，则a2k=2a1⋅22k−2=a1⋅22k−1，a2k−1=a1⋅22k−1−1，
所以数列an为公比为2的等比数列，
所以“a2=2a1”能推出“数列an为等比数列”，
若数列an为等比数列，则公比为2，故a2=2a1，
所以“数列an为等比数列”能推出“a2=2a1”.
故“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的充要条件.
故选：C.
【变式训练2-9】已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ）
A．45B．50C．55D．60
【答案】D
【解析】根据题意：，
两式作差可得，当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
故选：D．
【变式训练2-10】（多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】不妨设等比数列的公比为.
对于A选项，不妨取数列展开为，则展开为，显然不是等比数列，故A项错误；
对于B选项，由则数列为等比数列，故B项正确；
对于C选项，由则数列为等比数列，故C项正确；
对于D选项，当时，数列为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误.
故选：BC.
【变式训练2-11】（多选）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列B．一定不是等差数列
C．是等比数列D．一定不是等比数列
【答案】AC
【解析】根据等比数列的定义判断A、C；举反例判断B、D.
设、的公比分别为，
对于数列，它是公比为的等比数列，A对；
对于数列，它是公比为的等比数列，C对；
若满足数列和是等比数列，
此时，数列既是等比数列，也是等差数列，B、D错.
故选：AC
【变式训练2-12】（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，，成等差数列，则，，一定成等差数列
B．数列的前项和为，若，则是等差数列．
C．如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列；
D．数列的通项公式为，前项和为，则中最大的是或
【答案】BD
【解析】举例说明即可判断A；根据与的关系可得，结合等差数列的定义即可判断B；根据等比数列的定义即可判断C；由可知为正，，为负，即可判断D.
A：若，则，不构成等差数列，故A错误；
B：当时，；
当时，，
则符合上式，所以，
得，即为等差数列，故B正确；
C：设，的公比为.
当时，，得，此时为等比数列；
当时，，则，不为常数，
此时不为等比数列.故C错误；
D：令，解得，
则为正，，为负，
所以中最大为或，故D正确.
故选：BD
【变式训练2-13】若数列的前项积为，则的前项和 .
【答案】
【解析】因为数列的前项积为
所以当时，，
当时，，
因为当时，，
所以.
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
故答案为：.
【变式训练2-14】（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．
【答案】（1）或；（2）证明见解析
【解析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可；
（2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可.
（1）∵是等比数列，
∴，
将代入上式，得
，
即，
整理得：．
解得：或；
（2）设，的公比分别为p，q，，，
为证不是等比数列，只需证：．
事实上，，
．
由于，，
又，不为零，则，
因此，，故不是等比数列．
题型03：等比中项的应用
【典型例题1】设，，则与的等比中项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用等比中项的定义可求得结果.
由题意可知，与的等比中项为.
故选：C.
【典型例题2】若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据等比中项的性质计算可得.
因为数列是等比数列，
所以，解得或，
当时，不满足，故舍去；
当时，经检验符合题意，所以.
故选：B
【变式训练3-1】若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】根据等比中项的性质可得选项.
解：由已知得，所以，所以，
故选：D.
【变式训练3-2】在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】计算出的值，利用等比中项的定义可求得结果.
由已知可得，由等比中项的性质可得，
因此，与的等比中项是.
故选：A.
【变式训练3-3】正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】根据是方程的两根，利用等比数列的性质求得，再利用对数运算求解.
解：∵是方程的两根，
∴，
∵数列为正项等比数列，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-4】设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,即可选出结果.
解:由题知是各项不为0,
若,
则,
故为等比数列;
若为等比数列,
则有,
即;
综上“”是“为等比数列”的充分必要条件.
故选:C
【变式训练3-5】在等比数列中，，，则和的等比中项为（ ）
A．10B．8C．D．
【答案】C
确定等比中项
【解析】根据等比中项的定义可得结果.
根据等比中项的定义可得和的等比中项为.
故选：C
【变式训练3-6】在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（ ）
A．B．或4C．4D．5
【答案】C
等比中项的应用
【解析】根据等比中项求解即可.
由为等比中项可知，，
又可知，
所以，
故选：C
题型04：等比数列通项公式基本量的计算
【典型例题1】在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式首先求得公比，进而由求得结果.
设等比数列的公比为，则，解得：，
.
故选：B.
【典型例题2】设是等比数列，，，则 .
【答案】16
【解析】结合等比数列通项公式计算即可得.
设，则，故.
故答案为：16.
【典型例题3】在等比数列中，，，则 .
【答案】
【解析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案
因为数列是等比数列，设其公比为，
所以
又，所以，所以，，
所以
故答案为：
【典型例题4】已知数列是等比数列，，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）求出公比，得到通项公式；
（2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案.
（1）设等比数列的公比为q，
因为，，所以，所以，
所以；
（2）等差数列的公差为d，则，，
解得，，
所以数列的前n项和公式为.
【典型例题5】在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可.
（1）因为，则，解得，
当时，；
当时，．
综上所述：或.
（2）因为，则，即．
又因为，则，即．
两式相除得，所以．
【变式训练4-1】已知等比数列{an}中，，则（ ）
A．384B．768C．788D．1536
【答案】B
【解析】由已知条件列方程组，从而可求出，进而可求出数列的通项，则可求得结果
解： 设{an} 的公比为 ，
由题意得， 解得 所以，
所以，
故选：B
【变式训练4-2】已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，，成等差数列解出即可．
根据，，成等差数列得到=，
再根据数列是等比数列得到，
因为等比数列的各项均为正，故得到，
解得或（舍去），故得到公比为.
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
【变式训练4-3】已知an是单调递增的等比数列，a4+a5=24,a3a6=128，则公比q的值是（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
【答案】A
【解析】利用等比数列的性质求出a4a5，再解方程组求出a4,a5，即可得解.
因为an是等比数列，
所以a4a5=a3a6=128，
则a4+a5=24a4a5=128，解得a4=8a5=16或a4=16a5=8，
又因为an是单调递增的等比数列，
所以a4=8a5=16，
所以公比q=a5a4=2.
故选：A.
【变式训练4-4】等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【答案】B
【解析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求.
依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=a1+a1q2q,∴q=12,a1=8，
∴a5=a1q4=8⋅116=12.
故选：B.
【变式训练4-5】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S4S2=5，则数列an的公比为（ ）
A．12B．22C．2D．2
【答案】C
【解析】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果.
设数列an的公比为q，显然q≠1，则S4S2=1−q41−q2=1+q2=5，解得q=2或q=−2（舍去）.
故选C.
【变式训练4-6】已知为等比数列，公比，则（ ）
A．81B．27C．32D．16
【答案】A
【解析】根据等比数列基本量的计算即可求解.
根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选：A
【变式训练4-7】已知数列是首项为的等比数列，且公比大于，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设公比为，由得到方程，求出，即可得解.
解：设公比为，由，所以，解得或，
又公比大于，所以，
所以.
故选：C
【变式训练4-8】已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解.
若相邻两项为和，则公比为正数，每一项都为正数，舍去；
若奇数项为和，则奇数项均为正数，舍去；
由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，
所以；
当时，，所以，所以，
所以；
综上可得，的最小值为.
故选：B
【变式训练4-9】若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
等比数列通项公式的基本量计算
【解析】根据等比数列定义知，求解即得答案.
设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，.
∵， 即
解得
故选：C.
【变式训练4-10】在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
等比数列通项公式的基本量计算
【解析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解.
设等比数列的公比为，因为，所以，
即，解得或（舍去）．
因为，所以，即，所以，
所以或或
所以的值为或或，所以的最小值为．
故选：A．
【变式训练4-11】数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项
【解析】利用求得，进而求得正确答案.
依题意，，
当时，，
当时，由得，
两式相减并整理得，
所以数列从第项起是等比数列，则，
即，所以.
故选：D
【变式训练4-12】已知数列中，（且，则数列通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项
【解析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.
由，知：且()，
而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
故选：C
【变式训练4-13】等比数列an中，a1=1，a5=−8a2，a50，q>0，可判断结论；对于B，在q=−1时，通过取反例即可排除B；对于C，分析q=−1时数列|an|的特征即可判断；对于D，先求出Tn的表示式，通过作商分析Tn+1,Tn的大小关系即得.
对于A，设数列an的公比为q，由a3=2a1+a2可得，a1q2=2a1+a1q，
因a1≠0，则得q2−q−2=0，解得q=−1或q=2，
因an是正项数列，故a1>0，q=2>0，故an是单调递增数列，即A正确；
对于B，由上分析知，q=−1或q=2，
当q=−1时，Sn=a1[1−(−1)n]1−(−1)=12a1[1−(−1)n]，
此时，若n为偶数，则Sn,S2n−Sn,S3n−S2n都是0，故不符合，即B错误；
对于C，若q=2，则|an|是递增数列，
此时不存在M>0，使an≤M对∀n∈N+都成立；
若q=−1时，易得|an|=|a1|，故存在M=|a1|，使得an≤M对∀n∈N+都成立，
此时|an|为常数列，故|an|是公差为0的等差数列，故C正确；
对于D，因an>0，a1=1100，故由上分析知q=2，
则Tn=a1⋅a2⋯an=a1nq1+2+⋯+(n−1)=a1nq(n−1)n2=(1100)n⋅2(n−1)n2，
由Tn+1Tn=(1100)n+1⋅2(n+1)n2(1100)n⋅2(n−1)n2=1100×2n，
当1≤n≤6时，00，Sn+1−Sn=an+1=2n>1，
故{an}、{Sn}均为严格增数列，
取m=n+1，则am=an+1=2n∈[2n−1,2n+1−1]，即am∈[Sn,Sn+1]恒成立 ，
所以{an}是{Sn}的“M数列”，故②正确；
对于③，假设存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”，
设等差数列{an}的公差为d，
因为{an}为严格增数列，则d>0，
又因为{Sn}为严格增数列，所以Sn+1−Sn=an+1>0，即当n≥2时，an>0恒成立，
取n0∈N∗，满足an0>2d，可知必存在n=k∈N∗，使得ak≤Sn0ak+2d=ak+2，即Sm>ak+2，
对任意正整数m≤n0，则有Sm≤Sn01，
故{an}、{Sn}均为严格增数列，
取m=n，则Sm=Sn=2n−1∈[2n−1,2n]，即Sm∈[an,an+1]恒成立，
所以{Sn}是{an}的“M数列”，故④正确.
故答案为：①②④.
四、解答题
1.已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2.记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
3.设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
4.已知数列的前项和为，且.在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：是等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由可求得数列的通项公式；
（2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立.
（1）解：因为数列的前项和为，且.
当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：当时，，可得，所以，，
且，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
因此，数列是公比为的等比数列.
5.已知数列的前项和为，．
(1)求的通项公式．
(2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【解析】（1）根据求数列的通项公式；
（2）结合数列的通项公式，和三个数成等比数列的有关结论，求的值.
（1）当时，，
当时，，
又符合，
所以的通项公式为.
（2）存在，理由如下：
设存在，使，，成等比，则
所以：解得：或（舍去）.
所以：可使，，成等比.
6.已知数列的各项均为正实数，，且（）.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大项为；最小项为
【解析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案；
（2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案.
（1）证明：由，则，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
当时，，则数列的最小项为，
由函数在上单调递减，则数列的最大项为.
7．已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
【解析】（1）由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
（2）由，则，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
8．已知数列，，，为数列的前项和，且.
(1)令.
（i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（ii） 求数列的前项和；
(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）（i）时，
，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
故，故；
（ii）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则.
所以，，
，①
，②
①②得，
因此，.
（2）因为，
所以，
，
，恒成立，即，
所以，，
令，则，
由，即，解得，
因为，所以，，
故数列中，最大，所以，，
因此，实数的取值范围是.
9．已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）等比数列各项均为正数，可设其公比为，
，解得：（舍）或，
.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
，
由得：，
为递减数列，，，
即实数的取值范围为.
10.已知等差数列的的前项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，，，求数列的前项和．
①；②；③．
【解析】（1）方案一：选择条件①②
由题意，设等差数列的公差为，
则，
故，
解得，
，．
方案二：选择条件①③
由题意，设等差数列的公差为，
则，
故，
解得．
，．
方案三：选择条件②③
由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
（2）由题意及（1），
可知，
，
设等比数列的公比为，
则，
，，
，
．
11.公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项之和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）解不等式，得出满足条件的正整数的最大值，再结合等差数列的求和公式可求得的最小值.
（1）解：设等差数列的公差为，则，
因为是和的等比中项，则，即，
即，整理可得，①
又因为数列的前项和为，可得②，
解得，，所以，.
（2）解：由，可得，
而，所以，满足条件的的最大值为，
因此，数列的前项之和的最小值为.
12.设正项等比数列满足，，，为数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)当n满足什么条件时，恒成立？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据等比数列公式计算得到答案.
（2）确定，，解不等式得到答案.
（1），，，
解得，，
所以；
（2），
故．
，即，即，解得，
n的取值范围是
13.某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….
(1)写出和，并求出与之间的递推关系式；
(2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析，
【解析】（1）由已知可得和，仿写可得与之间的递推关系式；
（2）结合上问中的递推关系再证明即可，再由基本量法求出通项；
（1），，
，
（2）证明：
是以50为首项，为公比的等比数列.
，
14.已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）先利用递推式求得，再利用已知条件结合化简得，从而根据等比数列定义判断数列为等比数列，然后写出通项公式即可；
（2）推出，假设存在3项，，成等比数列，则，即，结合解得，与已知矛盾，即可判断.
（1）由题意知，当时，，因为，所以，①
因为，所以，所以，②
两式相减得，所以.
由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式；
（2）由（1）知，，所以，
所以.
假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，
则，互不相等，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列，所以，所以.
化简得，所以，又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关求得关于的表达式，从而分析得解.
15．已知数列an的前n项和为Sn，且4Sn=5an−2．
(1)证明：an是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn=(−1)n⋅lg5a2n+22，求数列bn的前100项和T100．
【解析】（1）利用给定的递推公式，结合an=Sn−Sn−1(n≥2)及等比数列定义推理得证，再求出通项公式.
（2）利用（1）的结论求出bn，再利用分组求和法计算即得.
（1）数列an中，4Sn=5an−2，当n≥2时，4Sn−1=5an−1−2，两式相减得an=5an−1，
而a1=S1=54a1−12，解得a1=2，所以an是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为an=2×5n−1.
（2）由（1）知，bn=(−1)n⋅lg5a2n+22=(−1)n⋅lg52×52n+12=(−1)n⋅(2n+1)，
所以T100=b1+b2+b3+b4+⋯+b99+b100=−3+5+−7+9+⋯+
−199+201=2+2+2+⋯+2=2×50=100．
16．已知桶A0中盛有3升水，桶B0中盛有1升水.现将桶A0中的水的23和桶B0中的水的13倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的23和桶B1中的水的13倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶B1中的水量；
(2)求操作n次后桶Bn中的水量；
(3)至少操作多少次，桶Ann∈N∗中的水量与桶Bnn∈N∗中的水量之差小于164升？（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【解析】（1）根据题意列式计算；
（2）根据题意，得到An+Bn=4，Bn=13An−1+23Bn−1，然后用数列知识求解；
（3）由（2）可得An=4−Bn=13n+2，列式运算得解.
（1）记桶An中的水量为An，桶Bn中的水量为Bn，n∈N，
所以B1=13A0+23B0=53.
（2）根据题意可得：An+Bn=4，Bn=13An−1+23Bn−1，
所以Bn=134−Bn−1+23 Bn−1=13 Bn−1+43，所以Bn−2=13 Bn−1−2，
即数列Bn−2是以B1−2=−13为首项，13为公比的等比数列，
所以Bn−2=−13⋅13n−1，
∴Bn−2=−1⋅13n，所以Bn=2−13n.
（3）An=4−Bn=13n+2，∴An−Bn=2⋅13n，
令2⋅13n