（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练6.2等比数列（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练6.2等比数列（练习）（2份，原卷版+解析版），共9页。试卷主要包含了等比数列的首项等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc196899396" 1题型一、等比数列的首项、公比、通项公式 PAGEREF _Tc196899396 \h 2
\l "_Tc196899397" 2题型二、等比中项 PAGEREF _Tc196899397 \h 6
\l "_Tc196899398" 3题型三、等比数列的前n项和公式Sn PAGEREF _Tc196899398 \h 12
题型一、等比数列的首项、公比、通项公式
一、单选题
1．在等比数列an中，a3=3, a7=27，则a5=（ ）
A．3B．±9C．9D．±3
【答案】C
【分析】根据等比数列的概念可求得q2=3，由此可得结果.
【详解】设等比数列an的公比为q，
∵a3=3, a7=27，
∴a7a3=q4=9，故q2=3，
∴a5=a3q2=3×3=9.
故选：C.
2．已知数列an为等比数列，a5=8，a8=1，则i=18ai=（ ）
A．128B．169C．254D．255
【答案】D
【分析】先求等比数列的首项和公比，再根据等比数列的求和公式求解.
【详解】设等比数列公比为q，则a8a5=q3=18 ⇒ q=12.
由a5=a1q4 ⇒ a1=8124=27，
所以i=18ai=a11−q81−q=271−1281−12=28−1=255.
故选：D
3．已知等比数列an的各项均为正数，公比q=2，且满足a2a8=64则a5=（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】应用等比数列通项公式基本量运算即可求解.
【详解】因为等比数列an的各项均为正数，公比q=2，且满足a2a8=a12×28=64,
所以a1=12，则a5=a1×q4=8.
故选：B.
4．已知an是等比数列，a2=12，a4=2，则公比q等于（ ）
A．−12B．−2C．±2D．±12
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，q2=a4a2=4，得q=±2.
故选：C
5．若等比数列an满足a1+a2=2，a1−a3=3，则数列an的公比等于（ ）
A．−12或13B．12或−12C．−12D．13
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】a1+a2=a1(1+q)=2，
a1−a3=a1−a1q2=a1(1−q2)=a1(1+q)(1−q)=2(1−q)=3，
所以q=−12，
故选：C.
6．已知数列an是等比数列，若a1=3，a2a3=48，则a4的值为（ ）
A．16B．4C．-2D．-4
【答案】A
【分析】设数列an的公比为q，利用条件求得q3=163，整体代入通项，即可求得a4.
【详解】设数列an的公比为q，
由a2a3=a12q3=9q3=48，解得q3=163，
则a4=a1⋅q3=3×163=16.
故选：A.
7．等比数列an中，a1=1，a4=8，则an的前n项和Sn=（ ）
A．2n−1B．2nC．2n−1−1D．2n−1
【答案】D
【分析】由等比数列通项公式求公比，再写出等比数列的前n项和即可.
【详解】若数列的公比为q，则q3=a4a1=8⇒q=2，故Sn=1×(1−2n)1−2=2n−1.
故选：D
8．在等比数列{an}中，a3−2a2=4，a4−2a3=−8，则{an}的公比为（ ）
A．−12B．−2C．12D．2
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式列式计算.
【详解】因为数列an为等比数列，
所以a1q2−2a1q=4a1q3−2a1q2=−8且a1≠0，q≠0，q≠2，
所以qq−2q2q−2=−12 ⇒ q=−2.
故选：B
二、填空题
9．已知等比数列an满足a1+a2=2，a2+a3=4，则a1= ．
【答案】23
【分析】设等比数列an的公比为q，然后根据已知条件列方程组求解即可.
【详解】设等比数列an的公比为q，由a1+a2=2，a2+a3=4，
得a1+a1q=2，a1q+a1q2=4，解得q=2，a1=23．
故答案为：23．
10．记Sn是等比数列an的前n项和，若a2=2，a3=1，则S6= .
【答案】638
【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比和首项，即可利用求和公式求解.
【详解】因为an是等比数列，所以公比q=a3a2=12,故a1=4,
S6=41−1261−12=638.
故答案为：638
11．已知各项均为正数的等比数列an满足：a1+a2+a3+a4=4,a5+a6+a7+a8=8，则S16= .
【答案】60
【分析】设等比数列an的公比为q，由两个等式求得q4=2，再利用等比数列部分和的特征，将S16拆项分组求和.
【详解】设等比数列an的公比为q，
由a1+a2+a3+a4=4,a5+a6+a7+a8=8，
可得a5+a6+a7+a8=q4(a1+a2+a3+a4)=4q4=8，即q4=2，
则S16=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+ (a9+a10+a11+a12)+(a13+a14+a15+a16)
=4+4q4+4q8+4q12=4×1+2+22+23=60.
故答案为：60.
12．已知等比数列an的公比为q，若a3+a4=3，a3−a5=9，则q= ．
【答案】−2
【分析】利用等比数列通项公式，列方程组求公比q.
【详解】等比数列an的公比为q，a3+a4=3，a3−a5=9，
则a1q2+a1q3=3a1q2−a1q4=9，解得a1=−34q=−2.
故答案为：−2.
13．已知在等比数列an中，a1a3a11=8，则a2a8= ．
【答案】4
【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值.
【详解】设等比数列an的公比为q，则an=a1qn−1，
则a1a3a11=a1⋅a1q2⋅a1q10=8，即a13q12=8，所以a1q4=2，即a5=2.
所以a2a8=a1q⋅a1q7=a12q8=a1q42=a52=4．
故答案为：4.
三、解答题
14．在等比数列an中.
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an.
【答案】(1)405
(2)5
(3)an＝22n−53
【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可.
【详解】（1）易知a1=5，q=−155=−3，故a5=5×−34=405.
（2）由a1×53=625 ⇒ a1=5.
（3）a7a4=82=4=q3 ⇒ q=223.所以an=a4·qn−4=2·223n−4=22n−53.
题型二、等比中项
一、单选题
1．已知等差数列an的首项为1，若a1,a2,a3+1成等比数列，则a4=（ ）
A．−2B．4C．8D．−2或4
【答案】B
【分析】设等差数列an的公差为d，由a1,a2,a3+1成等比数列求出d可得答案.
【详解】设等差数列an的公差为d，
若a1,a2,a3+1成等比数列，则a22=a1a3+1，
即1+d2=1+2d+1，解得d2=1，d=±1，
当d=1时，a4=1+3=4，
当d=−1时，a2=1−1=0，此时a1,a2,a3+1不能构成等比数列，故舍去，
所以a4=4,
故选：B.
2．等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an的前6项和为（ ）
A．−24B．−3C．3D．8
【答案】A
【分析】根据a2，a3，a6成等比数列，列方程a32=a2⋅a6可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为d(d≠0)，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2⋅a6，
所以(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，
又a1=1，所以(1+2d)2=(1+d)(1+5d)，整理得d2+2d=0，
因为d≠0，所以d=−2，
所以数列an前6项的和为S6=6a1+6×(6−1)2⋅d =6+15×(−2)=−24.
故选：A
3．等比数列an中，a2=1，设甲：a4=3，乙：a6=9，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系.
【详解】因为an为等比数列，故a2,a4,a6为等比数列，且三者同号，
若a4=3，则由a42=a2a6可得a6=9，故甲是乙的充分条件；
若a6=9，则由a42=a2a6及a4>0可得a4=3，故甲是乙的必要条件；
故甲是乙的充要条件，
故选：C.
4．设等差数列an的公差为dd≠0，a1=2，若a2，a3，a6成等比数列，则d=（ ）
A．3B．2C．−2D．−4
【答案】D
【分析】利用等比中项的性质结合给定条件建立方程，求解公差即可.
【详解】因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2a6，
因为等差数列an的公差为d，a1=2，而d≠0，
所以(2+2d)2=(2+d)(2+5d)，解得d=−4，故D正确.
故选：D
5．已知等差数列an的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a3=（ ）
A．−6B．6C．4D．−4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比中项的公式可得答案.
【详解】因为等差数列an的公差为2，所以an=a1+2n−1，
因为a1，a2，a4成等比数列，所以a1+22=a1a1+6，解得a1=2，
所以a3=6.
故选：B
6．已知等比数列an中，a10的等差数列an的前n项的和为Sn，且a1=1，a1,a3−1,S4成等比数列.
(1)求数列an的通项公式;
(2)若数列bn满足anbnan+1=1，求数列bn的前n项的和.
【答案】(1)an=2n−1
(2)n2n+1
【分析】（1）根据题意结合等比中项可得a3−12=a1S4，即可得公差和通项公式；
（2）由题意可得bn=1anan+1，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为a1,a3−1,S4成等比数列，则a3−12=a1S4，
且a1=1，则4d2=4+6d，即2d2−3d−2=0，解得d=2或d=−12（舍去），
所以an=1+2n−1=2n−1.
（2）设数列bn的前n项的和为Tn，
因为anbnan+1=1，则bn=1anan+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
所以Tn=121−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1.
题型三、等比数列的前n项和公式Sn
一、单选题
1．设等比数列an的前n项和为Sn，且a3+a4恰为a5和a6的等差中项，则S8S4=（ ）
A．4B．5C．16D．17
【答案】B
【分析】根据a3+a4恰为a5和a6的等差中项，由a5+a6=2a3+a4，求得公比，再利用等比数列前n项和公式求解.
【详解】因为a3+a4恰为a5和a6的等差中项，
所以a5+a6=2a3+a4，则q2=2，
所以S8S4=a11−q81−qa11−q41−q=1−q81−q4=1+q4=5，
故选：B
2．设等比数列an的前n项和为Sn，若S12=3S6，则a9+a11a3+a5=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列前n项和公式得q6=2，再整体代入计算即可.
【详解】当q=1时，S12=12a1，3S6=18a1，且a1≠0，则S12≠3S6，不合题意，
当q≠1时，S12=3S6，即a11−q121−q=3×a11−q61−q，解得q6=2，
a9+a11a3+a5=a1q8+q10a1q2+q4=q6=2.
故选：B.
3．已知数列an满足a1=2，an+1−an=2n+nn∈N+，则a6的值为（ ）
A．22B．42C．79D．149
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得.
【详解】数列an中，a1=2，an+1−an=2n+n，
a6=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+(a5−a4)+(a6−a5)
=2+(2+1)+(22+2)+(23+3)+(24+4)+(25+5)
=2+2(1−25)1−2+5(1+5)2=79.
故选：C
4．若数列an的通项公式为an=2n+2n−1，则数列an的前n项和为（ ）
A．2n+n2−1B．2n+1+n2−1
C．2n+1+n2−2D．2n+n−2
【答案】C
【分析】利用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】由题意知数列an的前n项和为Sn=a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an
=21+1+22+3+23+5+⋅⋅⋅+2n+2n−1
=2+22+23+⋅⋅⋅+2n+1+3+5+⋅⋅⋅+2n−1
=21−2n1−2+n1+2n−12
=2n+1+n2−2.
故选：C.
5．等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a4=3, a2+a5=6，则S6=（ ）
A．21B．28C．36D．48
【答案】A
【分析】根据条件求出公比，得到a3+a6= 12，进而求出答案.
【详解】设an的公比为q，
则q=a2+a5a1+a4=63=2，所以a3+a6= a2+a5q=6×2=12，
所以S6=a1+a4+ a2+a5+a3+a6=3+6+12=21.
故选：A
6．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若a1a6=2a4，且a5=12，则S4=（ ）
A．32B．31C．17D．15
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用等比数列性质可以求得a3，结合a5的值求得公比，进而求出首项，利用求和公式计算即可得出S4.
【详解】在正项等比数列数列an中，
由a1a6=a3a4a1a6=2a4an>0，解得a3=2.
又∵a5=12，∴q2=a5a3=14，解得：q=12，∴a1=a3q2=8，
∴S4=a11−q41−q=81−1241−12=15
故选：D.
7．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=5,4S3=15，则an的公比为（ ）
A．−14B．−34C．−12D．−2
【答案】C
【分析】设等比数列an的公比为q，根据题意，列出方程4q2+4q+1=0，求得公比q的值，即可得到答案.
【详解】设等比数列an的公比为q，
因为a1=5且4S3=15，可得a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=5+5q+5q2=154，
即4q2+4q+1=0，解得q=−12．
故选：C．
二、填空题
8．已知各项为正数的数列an是等比数列，且其前n项和为Sn.若S2=6，S4=30，则公比q= .
【答案】2
【分析】利用等比数列的前n项和公式与通项公式即可求得结果.
【详解】若S2=6，S4=30，则S2=a1+a2=a11+q=6，
S4=S2+a3+a4=6+1+qa1q2=6+6q2=30，
所以q2=4，由q>0，解得q=2.
故答案为：2.
9．等比数列an的前n项和为Sn,S10+31S5=0,S3=3，则a4+a2= ．
【答案】−10
【分析】根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，求得首项和公比，即可求得结果.
【详解】设等比数列an的公比为q；
若q=1，则S10+31S5=0,S3=3即为10a1+31×5a1=0，解得a1=0，不满足题意；
故q≠1，则S10+31S5=0,S3=3即为a1(1−q10)1−q+31×a1(1−q5)1−q=0，整理得：q10+31q5−32=0，
即q5+32q5−1=0，解得q5=−32或q5=1（舍），故q=−2；
又S3=3，即a1(1−q3)1−q=3，则a1=3×1−q1−q3=3×39=1；
故a4+a2= a1q3+a1q=−8−2=−10.
故答案为：−10.
10．已知数列an满足an+1an=−2,Sn为其前n项和，若a4=8，则S4= .
【答案】5
【分析】由题意可得数列an是等比数列，结合条件可得a1，再由等比数列的前n项和公式代入，即可得到结果.
【详解】由an+1an=−2可得数列an是以−2为公比的等比数列，
且a4=8=a1⋅−23，则a1=−1，
所以S4=−11−−241−−2=5.
故答案为：5
11．数列an成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若a3=32，S3=92，则q= ．
【答案】−12或1
【分析】列出关于等比数列an的公比为q方程，再解方程求出q.
【详解】等比数列an的公比为q，由a3=32,S3=92，得32q2+32q+32=92，
整理得1q2+1q−2=0，解得1q=−2或1q=1，
所以q=−12或q=1.
故答案为：−12或1
三、解答题
12．已知an为公差不为0的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=an+2n，求bn的前n项和Sn.
【答案】(1)an=n
(2)Sn=2n+1+nn+12−2
【分析】（1）根据等差数列定义以及等比数列性质列方程计算可得公差d=1，可求得通项公式；
（2）利用等差等比前n项和公式代入计算可得结果.
【详解】（1）设an公差为d，则a2=1+d，a4=1+3d，
因为a1，a2，a4成等比数列，
所以a1⋅a4=a22，即1+3d=1+d2，
所以d=1或0（舍去）.
故an=1+n−1=n；
即an的通项公式为an=n；
（2）由（1）可得bn=n+2n，
Sn=1+21+2+22+3+23+⋅⋅⋅+n+2n
=1+2+3+⋅⋅⋅+n+21+22+⋅⋅⋅+2n =nn+12+21−2n1−2
=2n+1+nn+12−2.
13．已知等差数列an的前四项和为10，且a2,a3,a7为等比数列；
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an+3n，求数列bn的前n项和Sn.
【答案】(1)an=52或an=3n−5
(2)52n−32+3n+12或−72n+32n2−32+3n+12
【分析】（1）设等差数列an的公差为d，依题意得到方程组，求出a1、d，即可求出通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，
由题意，得a1+a2+a3+a4=4a1+6d=10，
又a2,a3,a7为等比数列，所以a2a7=a32，即a1+da1+6d=a1+2d2，
解得a1=52d=0或a1=−2d=3，所以an=52或an=3n−5；
（2）当an=52时，bn=52+3n，
此时Sn=b1+b2+⋯+bn=52n+3−3n×31−3=52n−32+3n+12；
当an=3n−5时，bn=3n−5+3n，
此时Sn=b1+b2+⋯+bn=−2+3n−52n+3−3n×31−3=−72n+32n2−32+3n+12.