（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练2.1基本不等式（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练2.1基本不等式（讲义）（2份，原卷版+解析版），共9页。
\l "_Tc192861531" 2知识点02均值定理 PAGEREF _Tc192861531 \h 3
\l "_Tc192861532" 3题型一、直接法求和的最小值（积为定值） PAGEREF _Tc192861532 \h 3
\l "_Tc192861533" 4题型二、配凑法求和的最小值（积为定值） PAGEREF _Tc192861533 \h 10
\l "_Tc192861534" 5题型三、直接法求积的最大值（和为定值） PAGEREF _Tc192861534 \h 15
\l "_Tc192861535" 6题型四、配凑发求积的最大值（和为定值） PAGEREF _Tc192861535 \h 19
\l "_Tc192861536" 7题型五、“1”的替换 PAGEREF _Tc192861536 \h 24
\l "_Tc192861537" 8题型六、换元法求最值 PAGEREF _Tc192861537 \h 30
知识点01基本不等式
基本不等式1：若a ， b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号；
基本不等式2：若a>0 ， b>0，则a+b2≥ab（或a+b≥2ab），当且仅当a=b时取等号。
注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”
①“一正”指正数：即a>0 ， b>0
②“二定”指积为定值或者和为定值（定值指的是常数）
③“三相等”指等号成立的条件：a=b时取等号
如果a>0 ， b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立．其中，a+b2叫作a ， b的算术平均数，ab叫作a ， b的几何平均数．即正数a ， b的算术平均数≥几何平均数。
常考的不等式及其变形
①a>0时，a+1a≥2
②a>0，b>0时，ab+ba≥2
③a2+b2≥a+b22（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）
④ab≤a2+b22（沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式）
⑤ab≤a+b22（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
⑥不等式链：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22a>0，b>0
即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．
知识点02均值定理
已知x>0，y>0
（1）积定和最小：如果xy=P（定值），则x+y≥2xy=2P（当且仅当“x=y”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”
（2）和定积最大：如果x+y=S（定值），则xy≤x+y22=S24（当且仅当“x=y”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”
模型一：ax+bx≥2ab(a>0,b>0)，当且仅当x=ba时等号成立.
模型二：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅（mx+n−mx2)2=n24m(m>0,n>0,00)，当且仅当x−b=nm时等号成立.
模型四：xax2+bx+c=1ax+b+cx≤12ac+b(a>0 , c>0)，当且仅当x=ca时等号成立.
题型一、直接法求和的最小值（积为定值）
1．若x>0,则x+9x有（ ）
A．最小值6B．最小值8
C．最大值8D．最大值3
【答案】A
【分析】由均值不等式计算即可得解.
【详解】由题意，x>0，由均值不等式x+9x≥2x⋅9x=6，
当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，
故x+9x有最小值6.
故选：A
2．如果m>0，那么当m+16m取得最小值时m的值为（ ）
A．－4B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.
【详解】由于m>0，故m+16m≥2m⋅16m=8，当且仅当m=16m，即m=4时取等号，
故选：B
3．已知a>0，那么a+4a的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【分析】应用基本不等式计算即可.
【详解】因为a>0，则a+4a≥2a×4a=4
当且仅当a=2时，a+4a的最小值为4.
故选：C.
4．已知x>0，则x+1x的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据基本不等式直接求解即可.
【详解】因为x>0，所以x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
所以x+1x的最小值为2.
故选：A.
5．已知a为实数，则“a+1a≥2”是“00，则x+2x≥2x⋅2x=22，当且仅当x=2x，即x=2时取等号，
所以x+2x的最小值为22.
故选：C
7．若x>0，则y=2x+2x的最小值是（ ）
A．22B．2C．4D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为x>0，所以y=2x+2x≥22x⋅2x=4，
当且仅当2x=2x，即x=1时取等号，
所以y=2x+2x的最小值是4.
故选：C
8．若x>0，则y=2x+2x的最小值是（ ）
A．22B．42C．4D．2
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x>0，所以y=2x+2x≥22x⋅2x=4，
当且仅当2x=2x，即x=1时等号成立，
所以y=2x+2x的最小值是4.
故选：C.
9．若x>0，则x+1x的最小值为（ ）
A．−2B．−22C．−32D．2
【答案】D
【分析】直接根据基本不等式求解即可.
【详解】若x>0，则x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以x+1x的最小值为2.
故选：D.
10．已知x>0，则x+9x的最小值是（ ）
A．3B．26C．6D．0
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】因为x>0，则x+9x≥2x⋅9x=6，
当且仅当x=9x，即x=3时等号成立.
所以x+9x的最小值是6；
故选：C.
11．函数y=3x+1xx>0的最小值是（ ）
A．4B．5C．32D．23
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为x>0，
所以y=3x+1x≥23x⋅1x=23，
当且仅当3x=1x，即x=33时，等号成立.
则y=3x+1xx>0的最小值是23.
故选：D.
12．已知x>0，那么函数y=x+1x有（ ）
A．最大值2B．最小值2
C．最小值4D．最大值4
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可得解.
【详解】因为x>0，
所以y=x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以函数y=x+1x有最小值2，无最大值.
故选：B.
13．已知x>0，则25x+4x的最小值为（ ）
A．50B．40C．20D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由x>0，则25x+4x≥225x⋅4x=20，当且仅当25x=4x，即x=25时，
等号成立，故25x+4x的最小值为20．
故选：C
14．已知实数a>0，则a+2a+3的最小值是（ ）
A．32+3B．22+3
C．6D．5
【答案】B
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，
所以a+2a+3≥2a⋅2a+3=22+3，
当且仅当a=2a，即a=2，
所以a+2a+3的最小值是22+3.
故选：B.
15．已知x>0，则x−1+4x的最小值为（ ）
A．4B．5C．3D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当x>0时，x−1+4x≥2x⋅4x−1=3，当且仅当x=2时取等号，
所以x−1+4x的最小值为3.
故选：C
16．已知a>0，则a+1+4a的最小值为（ ）
A．−1B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，根据基本不等式可得a+1+4a=a+4a+1≥2a⋅4a+1=5，
当且仅当a=4a，即a=2时，等号成立；
所以a+1+4a的最小值为5，
故选：D.
17．已知a>0，则a+1a+1的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，
所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；
故选：B
18．设a>0，则a+a+4a的最小值为（ ）
A．0B．2C．4D．5
【答案】D
【分析】变形后，由基本不等式进行求解.
【详解】因为a>0，所以a+a+4a=a+4a+1≥2a⋅4a+1=5，
当且仅当a=4a，即a=2时，等号成立，
故选：D
19．已知x>0，则x+4x+1的最小值为（ ）
A．2+1B．22+1
C．4D．5
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】由x>0可知，利用基本不等式可得x+4x+1≥2x⋅4x+1=5，
当且仅当x=2时，等号成立，
即x+4x+1的最小值为5.
故选：D
20．如果x>0，那么4x+1x+1的最小值是（ ）
A．4B．14C．5D．12
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求和的最小值.
【详解】∵x>0,
∴4x+1x+1≥24x⋅1x+1=5,
当且仅当4x=1x，即x=12时取等号.
故选：C.
21．若x>0，则x+4x−2有（ ）
A．最小值1B．最小值2
C．最大值1D．最大值2
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】解：∵x>0，
∴x+4x−2≥2x⋅4x−2=2，
当且仅当x=4x，x=2时取等号．
因此x+4x−2的最小值为2．
故选：B．
题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）
1．函数f(x)=x+1x−1(x>1)的最小值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据基本不等式求和的最小值.
【详解】因为x>1，所以x−1>0，
所以fx=x+1x−1 =x−1+1x−1+1 ≥2x−1⋅1x−1+1 =3，
当且仅当x−1=1x−1即x=2时取“=”.
故选：B
2．若x>1，则函数y=2x+8x−1的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若x>1，则x−1>0，
所以函数y=2x−1+8x−1+2≥22x−18x−1+2=10，
当且仅当2x−1=8x−1即x=3时等号成立.
故选：C.
3．已知a≥0，则a+16a+4的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】原式可变为a+4+16a+4−4，利用基本不等式求解.
【详解】由a+16a+4=a+4+16a+4−4≥2a+4×16a+4−4=4，
当且仅当a+4=16a+4时取等号，可得a=0.可得a+16a+4的最小值为4，
故选：A.
4．已知x>1，则2−（3x+4x−1）的最大值是（ ）
A．−43+1B．−43−1
C．−1−23D．1−23
【答案】B
【分析】由2−3x−4x−1=−1−3x−1+4x−1，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为 x>1，
所以2−3x−4x−1=−1−3x−1+4x−1，
≤−1−23x−1⋅4x−1=−1−43，
当且仅当3x−1=4x−1，即x=1+233时，等号成立；
所以2−3x−4x−1的最大值是−43−1，
故选：B
5．已知x>−4，则2x+1x+4的最小值为（ ）
A．22−8B．22+8
C．22D．22+4
【答案】A
【分析】将原式化为2x+4+1x+4−8，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x>−4，所以x+4>0，
所以2x+1x+4=2x+4+1x+4−8≥22−8，
当且仅当2x+4=1x+4，即x=22−4时等号成立，
所以2x+1x+4的最小值为22−8.
故选：A.
6．已知a>1，则a+4a−1的最小值为（ ）
A．9B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】因为a>1，所以a−1>0，
则a+4a−1=a−1+4a−1+1≥2a−1×4a−1+1=2×2+1=5，
当且仅当a−1=4a−1，解得：a=−1（舍）或a=3时，等号成立.
故选：C
7．已知x>4，则函数y=1x−4+4x的最小值是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于x>4，所以x−4>0，所以y=1x−4+4x−4+16≥21x−4⋅4x−4+16=20，
当且仅当1x−4=4x−4，即x=92时等号成立，所以函数y=1x−4+4x的最小值是20，
故选：D.
8．若x∈R且x7，所以x+1x−7=x−7+1x−7+7≥2x−7×1x−7+7=9
当且仅当x=8时，取x+1x−7的最小值9.
故选：B.
10．已知x>3，则x+2x−3的最小值为（ ）
A．22+3B．22−3
C．22 D．4
【答案】A
【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：因为x>3，所以x−3>0，
所以x+2x−3=x−3+2x−3+3≥2x−3×2x−3+3=3+22，
当且仅当x−3=2x−3时，即x=3+2时等号成立，
所以函数x+2x−3的最小值是3+22.
故选：A
11．已知a>1，则2a+12a−2的最小值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为a>1，所以a−1>0，
所以2a+12a−2=2a−1+12a−1+2≥22a−1⋅12a−1+2=4，
当且仅当2a−1=12a−1，即a=32时取等号，
所以2a+12a−2的最小值是4.
故选：B
12．设x>0,则y=3−（3x+1x）的最大值为（ ）
A．3B．3−32C．3−23D．−1
【答案】C
【分析】根据基本不等式求出最值.
【详解】当x>0，则y=3−3x+1x≤3−23x⋅1x=3−23，
当且仅当3x=1x，即x=33时，等号成立.
故选：C
13．将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ）
A．7B．43C．33D．23
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得这两个正数和的最小值.
【详解】设这两个正数分别为x、y，则xy=12，
由基本不等式可得x+y≥2xy=212=43，
当且仅当x=yxy=12x>0,y>0时，即当x=y=23时，等号成立，
因此，这两个正数和的最小值为43.
故选：B.
题型三、直接法求积的最大值（和为定值）
1．若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy的最大值是（ ）
A．132B．116C．14D．12
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于1=x+4y≥4xy，则xy≤116，
当且仅当x=4y=12时等号成立.
故选：B
2．已知a，b为正实数，2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．14B．19C．112D．18
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解.
【详解】因为a>0,b>0，2a+b=1，
所以ab=12×2ab≤122a+b22=18，
当且仅当2a=b，即a=14,b=12时，等号成立.
故选：D
3．若正实数x、y满足x+y=2，则1xy的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得1xy的最小值.
【详解】因为正实数x、y满足x+y=2，则1xy≥1x+y22=1，
当且仅当x=yx+y=2时，即当x=y=1时，等号成立，
故1xy的最小值为1.
故选：B.
4．设x,y>0且x+2y=40，则2xy的最大值是（ ）
A．400B．100
C．40D．20
【答案】A
【分析】直接用基本不等式求解即可.
【详解】因为x,y>0
所以x+2y≥22xy
即40≥22xy
所以2xy≤400
当且仅当x=2y且x+2y=40，即x=20,y=10时等号成立.
故选：A
5．若a>0,b>0且2a+b=1，则1ab的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】直接利用基本不等式即可得到答案.
【详解】若a>0,b>0，则 2a+b=1≥22ab，则ab≤2a+b28，
则1ab≥12a+b28=118=8，当且仅当a=14,b=12时等号成立.
故选：D.
6．下列函数的最值中错误的是（ ）
A．x+1x的最小值为2
B．已知x>0，2−3x−4x的最大值是2−43
C．已知x>1，x+1x−1的最小值为3
D．x10−x的最大值5
【答案】A
【分析】举例x=−1，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】当x=−1时，x+1x=−2，故命题错误，A符合题意；
当x>0时，2−3x−4x=2−(3x+4x)≤2−23x⋅4x=2−43，
当且仅当3x=4x，即x=233时取等号，命题正确，B不符合题意；
当x>1时，x−1>0，则x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2x−11x−1+1=3，
当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取等号，故命题正确，C不符合题意；
由题意，0≤x≤10，则x10−x≤x+10−x2=5，
当且仅当x=10−x，即x=5时取等号，故命题正确，D不符合题意.
故选：A
7．已知a>0,b>0，a+2b=4，则ab的最大值是（ ）
A．4B．14C．2D．12
【答案】C
【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为a>0,b>0，a+2b=4，得到4≥22ab，即ab≤2，
当且仅当a=2b且a+2b=4，即a=2,b=1时取等号，所以ab≤2，
故选：C.
8．已知4a2+b2=6，则ab的最大值为（ ）
A．34B．32C．52D．3
【答案】B
【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可.
【详解】由题意得，6=4a2+b2=2a2+b2≥2⋅2a⋅b，即ab≤32，
当且仅当2a=b，即a=32,b=3或a=−32,b=−3时等号成立，
所以ab的最大值为32，
故选：B
9．已知m>0，n>0，若m+n=2，则（ ）
A．mn的最大值为1B．mn的最大值为2
C．mn的最小值为1D．mn的最小值为2
【答案】A
【分析】利用基本不等式求乘积的最值.
【详解】由m>0，n>0，则m+n=2≥2mn，即00,y>0,2x+y=1，则xy的最大值是（ ）
A．225B．112C．19D．18
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求得xy的最大值.
【详解】2xy≤2x+y22=14，∴xy≤18，
当且仅当2x=y，即x=14,y=12时，取等号.
故选：D.
11．已知x, y都为正数，且2x+y=1，则2xy的最大值为（ ）
A．12B．14C．116D．29
【答案】B
【分析】由基本不等式进行求解即可.
【详解】x, y都为正数，2x+y=1，
由基本不等式得2xy≤2x+y24=14，当且仅当2x=y，即x=14,y=12时，等号成立，
故答案为：14
12．已知a>0，b>0，a+b=4，则ab的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．不存在
【答案】C
【分析】应用基本不等式计算求解即可.
【详解】由基本不等式得：ab≤a+b22=4，当且仅当a=b=2时取等号，C正确．
故选：C.
题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）
1．若00,y>0,x+2y=1，则1−yxy的最小值为（ ）
A．42B．6C．4+22D．3+22
【答案】D
【分析】化简1−yxy，然后利用“1的代换”的方法求最值.
【详解】1−yxy=x+2y−yxy=x+yxy=1x+1y
=1x+1yx+2y=3+2yx+xy≥3+22yx⋅xy=3+22，
当且仅当2yx=xy,x=2y=2−1时等号成立.
故选：D
9．设a>0，b>0，若a+b=4，则9a+1b的最小值为（ ）
A．4B．94C．254D．8
【答案】A
【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解.
【详解】∵a>0,b>0，a+b=4，
∴9a+1b=14a+b9a+1b=1410+9ba+ab≥1410+29ba×ab=4，
当且仅当9ba=ab，即a=3,b=1时等号成立，
所以9a+1b的最小值为4.
故选：A.
10．已知m>0，n>0，且m+n=mn，则4m+n的最小值为（ ）．
A．9B．8C．6D．5
【答案】A
【分析】依题意可得1m+1n=1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为m>0，n>0，且m+n=mn，
所以1m+1n=1，
所以4m+n=4m+n1m+1n=nm+4mn+5≥2nm⋅4mn+5=9，
当且仅当nm=4mn，即m=32，n=3时取等号.
故选：A
11．已知正数x,y，满足1x+2y=1，则2x+y的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解.
【详解】因为正数x,y满足1x+2y=1，
则2x+y=2x+y1x+2y=2+4xy+yx+2≥24xy×yx+4=8，
当且仅当yx=4xy即x=2,y=4时取等号，
所以2x+y的最小值是8.
故选：A.
12．已知x>0,y>0,x+y=1，则1x+xy的最小值为（ ）
A．2B．4C．1D．3
【答案】D
【分析】利用“1”代换及基本不等式计算可得.
【详解】因为x>0,y>0,x+y=1，
所以1x+xy=x+yx+xy=1+yx+xy≥1+2yx⋅xy=3，
当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号.
故选：D
13．已知正数a，b，满足a+b=1，则9a+bab的最小值为（ ）
A．4B．6C．16D．25
【答案】C
【分析】将分式化简，根据“1”的妙用可求出最值.
【详解】因为9a+bab=9b+1a，a+b=1，
所以9b+1a×1=9b+1aa+b=9ab+ba+10，
因为a，b均为正数，所以9ab，ba也为正数，
则9ab+ba+10≥29ab⋅ba+10=16，
当且仅当9ab=ba即a=14,b=34时，等号成立，此时9a+bab的最小值为16.
故选：C.
14．已知a>b>0且a2+3b2=1，则1a+1b的最小值为（ ）
A．4B．6C．2+3D．4+23
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由题意可得a>b>0且a2+3b2=1，
所以1a+1b=1a+1ba2+3b2=2+3b2a+a2b≥2+23b2a⋅a2b=2+3，
当且仅当3b2a=a2b，即a=3b时,即a=3−1b=3−33时等号成立.
故选：C
15．已知实数x>0,y>0，且2x+y=1，则1x+2y的最小值为（ ）
A．4+42B．82C．8D．12
【答案】C
【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值．
【详解】由x>0,y>0，2x+y=1，
则1x+2y=1x+2y2x+y=4+yx+4xy≥4+2yx⋅4xy=8，
当且仅当yx=4xy，即x=14,y=12时等号成立，
所以1x+2y的最小值为8.
故选：C.
题型六、换元法求最值
1．若x>−1，则2x2+4x+4x+1的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值．
【详解】解：由题意得，y=2x2+4x+4x+1=2(x+1)2+2x+1=2(x+1)+2x+1，
∵x>−1,x+1>0，
∴2(x+1)+2x+1≥22(x+1)⋅2x+1=4，当且仅当2(x+1)=2x+1时取等号，即x=0，
则函数的最小值是4，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题．
2．若x⩾72，则f(x)=x2−6x+10x−3有（ ）
A．最大值52 B．最小值52
C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】构造基本不等式f(x)=x−3+1x−3即可得结果.
【详解】∵x≥72，∴x−3>0，
∴f(x)=x2−6x+10x−3=x−32+1x−3=x−3+1x−3≥2x−3×1x−3=2，
当且仅当x−3=1x−3，即x=4时，等号成立，即fx有最小值2.
故选：D.
【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
3．若函数fx=x2−2x+4x−2x>2在x=a处取最小值，则a=（ ）
A．1+5 B．2
C．4D．6
【答案】C
【分析】由x−2>0，而fx=x−2+4x−2+2，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a的值.
【详解】由题意，x−2>0，而fx=x2−2x+4x−2=x−22+2x−2+4x−2=x−2+4x−2+2 ≥2x−2×4x−2+2=6，当且仅当x−2=4x−2，即x=4时，等号成立，
所以a=4.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
4．函数y=x2+3x+3x+1(x1）的最小值为（ ）
A．23B．3+23C．2+22D．5
【答案】B
【分析】将函数化简变形为f(x)=x2+x+1x−1=(x−1)2+3(x−1)+3x−1=(x−1)+3x−1+3，然后利用基本不等式求解即可
【详解】解：因为x>1，所以x−1>0，
所以f(x)=x2+x+1x−1=(x−1)2+3(x−1)+3x−1=(x−1)+3x−1+3≥2(x−1)⋅3x−1+3=23+3，
当且仅当x−1=3x−1，即x=3+1时取等号，
所以函数f(x)=x2+x+1x−1（x>1）的最小值为3+23，
故选：B
6．若−10 ，
所以 2x2−3x+1x=2x+1x−3≥22x⋅1x−3=22−3 ，
当且仅当 2x=1x ，即 x=22 时取等号，
故答案为： 22−3
11．函数fx=x2+8x−1(x>1)的最小值为 ．
【答案】8
【分析】令t=x−1>0，则x=t+1，化简得到ft=t+9t+2，集合基本不等式，即可求解.
【详解】因为x>1，令t=x−1>0，则x=t+1，
又因为fx=x2+8x−1(x>1)，可得ft=(t+1)2+8t=t2+2t+9t=t+9t+2，
因为t+9t≥2t×9t=6，当且仅当t=9t时，即t=3，即x=4时，等号成立，
所以ftmin=8，即fx的最小值为8.
故答案为：8.
12．函数f(x)=3x−32x2−x+1在(1,+∞)上的最大值为 ．
【答案】37
【分析】令x−1=t，则t>0，则ft=32t+3+2t，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为f(x)=3x−32x2−x+1，x∈(1,+∞)，令x−1=t，则t>0，
则ft=3t2(t+1)2−(t+1)+1=3t2t2+3t+2=32t+3+2t≤322t⋅2t+3=37，
当且仅当2t=2t，t=1即x=2时，等号成立．
故f(x)的最大值为37．
故答案为：37
13．函数y=x2+x+3x−2x>2的最小值为 ．
【答案】11
【分析】将函数化为y=x−2+9x−2+5，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由y=(x−2)2+5(x−2)+9x−2=x−2+9x−2+5，又x−2>0，
所以y≥2(x−2)⋅9x−2+5=11，当且仅当x−2=9x−2，即x=5时等号成立，
所以原函数的最小值为11.
故答案为：11
14．若x>−1，则2x2+4x+4x+1的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.
【详解】当x>−1时，x+1>0，
则2x2+4x+4x+1=2(x+1)2+2x+1=2x+1+2x+1 ≥22(x+1)⋅2x+1=4，
当且仅当2x+1=2x+1，即x=0时取等号，
所以2x2+4x+4x+1的最小值为4.
故答案为：4