（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练5.2余弦定理（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc195689628" 2题型一、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc195689628 \h 2
\l "_Tc195689629" 3题型二、余弦定理的边角互化 PAGEREF _Tc195689629 \h 6
知识点01余弦定理
余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
题型一、余弦定理解三角形
1．在△ABC中，若b2+c2−a2=3bc，则A=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】A
【分析】利用余弦定理代入计算即可.
【详解】由余弦定理可知csA=b2+c2−a22bc=3bc2bc=32，
又因为A∈0,π，所以可得A=π6.
故选：A
2．在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则csB=（ ）
A．18B．−18C．19D．−19
【答案】B
【分析】首先利用余弦定理求出BC的长度，再根据余弦定理求出csB的值.
【详解】在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34；
由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB·AC·csA，解得BC=2.
再根据余弦定理csB=AB2+BC2−AC22AB·BC，解得csB=−18.
故选：B.
3．在△ABC中，已知a:b:c=3:5:7，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．120°
【答案】B
【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解.
【详解】由a:b:c=3:5:7，令a=3k,b=5k,c=7kk>0，
∴csC=a2+b2−c22ab=9k2+25k2−49k22×3k×5k=−12，
又C∈0,π，则C=2π3，
所以这个三角形的最大角的弧度数为2π3.
故选：B.
4．在△ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=（ ）
A．5B．3或5C．4D．2或4
【答案】B
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=AC2，
即64+BC2−8BC=49，即BC2−8BC+15=0，
解得BC=3或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
5．在△ABC中，已知a2+b2+ab=c2，则角C=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】C
【分析】在△ABC中，利用余弦定理即可求解.
【详解】在△ABC中，∵a2+b2+ab=c2，
∴a2+b2−c2=−ab，
∴由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12.
∵C∈0,π，∴C=2π3.
故选：C.
6．已知在△ABC中，B=π3，b2=ac，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据余弦定理得出a=c，结合角的特征判断三角形形状.
【详解】因为B=π3，则b2=a2+c2−2accsB，即ac=a2+c2−ac，
所以a−c2=0，所以a=c，所以△ABC为等腰三角形，
又B=π3，所以△ABC为等边三角形.
故选：D.
7．在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于23BC，则csA=（ ）
A．31010B．1010C．−1010D．−31010
【答案】B
【分析】由BC边上的高等于23BC，根据勾股定理求出AB=223BC AC=53BC，然后再利用余弦定理即可求解.
【详解】设BC边上的高为AD，因为BC边上的高等于23BC，B=π4，
所以AB=223BC，BD=23BC，CD=13BC，
所以由勾股定理可得AC=AD2+CD2=53BC，
所以由余弦定理得csA=AB2+AC2−BC22AB×AC=89BC2+59BC2−BC22×223BC×53BC=1010.
故选：B.
8．已知在△ABC中，AB=35，BC=1，AC=75，则csB=（ ）
A．12B．−12C．1314D．1114
【答案】B
【分析】由余弦定理，代入数值即可求得csB的值.
【详解】由余弦定理得csB=AB2+BC2−AC22×AB×BC=352+12−7522×35×1=−12.
故选：B.
9．在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，若a=3,b=13,B=60°，则c=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.
【详解】由余弦定理可知b2=a2+c2−2accsB，
即13=9+c2−2×3c×cs60°，
整理得c2−3c−4=0，解得c=4或c=−1（舍去）.
故选：D.
10．在△ABC中，内角A,B,C所对各边分别为a,b,c，且a2=b2+c2−bc，则角A=（ ）
A．60°B．120°C．30°D．150°
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合给定条件得到csA=12，再依据三角形中角的范围求解即可.
【详解】因为a2=b2+c2−bc，且由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
所以2csA=1，解得csA=12，而在△ABC中，0°