（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练5.2余弦定理（练习）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc195691260" 2题型二、余弦定理的边角互化 PAGEREF _Tc195691260 \h 5
题型一、余弦定理解三角形
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=90∘，a=12，b=5，则c=（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】D
【分析】由已知根据余弦定理求解即可.
【详解】因为C=90°，a=12，b=5，
所以c2=a2+b2−2abcsC=122+52=169，
所以c=13.
故选：D.
2．在△ABC中，BC=2，AB=4,csC=−14，则AC的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：△ABC中，a=BC=2,c=AB=4,csC=−14，
∴c2=a2+b2−2abcsC，
即16=4+b2−4b× −14，化简得b2+b−12=0，
解得b=3或b=−4（不合题意，舍去），
∴b=AC=3，
故选：B．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，c=3，csB=14，则b=（ ）
A．7B．10C．4D．19
【答案】B
【分析】由余弦定理b2=a2+c2−2accsB即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=4+9−2×2×3×14=10，则b=10.
故选：B.
4．在△ABC中，b2+c2−a2=bc，且sinB=sinC，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】首先由余弦定理得A=π3，再由题干条件结合正弦定理得b=c，故△ABC是等边三角形.
【详解】由b2+c2−a2=bc，得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，所以A=π3；
又sinB=sinC，由正弦定理得b=c，所以△ABC是等边三角形.
故选：C.
5．在△ABC中，AB=2，AC=1，csA=14，则BC=（ ）
A．1B．2C．53D．153
【答案】B
【分析】由余弦定理，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅csA=4+1−2×2×1×14=4，解得BC=2.
故选：B.
6．在△ABC中，A=30°，BC=1,AC=2，则AB=（ ）
A．1B．2
C．3D．22
【答案】C
【分析】根据条件，利用余弦定理，即可求解.
【详解】设A,B,C所对的边为a,b,c，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA,
又A=30°，BC=1,AC=2，所以1=4+c2−23c，
即c2−23c+3=0，解得c=3，
故选：C.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a=3,b=1,c=1，则角A=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】C
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12+12−322×1×1=−12，
又A∈0,π，所以A=2π3.
故选：C
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2,b=5,C=2π3，则c=（ ）
A．6B．37C．38D．39
【答案】D
【分析】直接利用余弦定理转化求解即可．
【详解】因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若a=2,b=5,C=2π3，
所以c2=22+52−2×2×5×cs2π3=39，
所以c=39．
故选：D．
9．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=2,b=3,c=4，则csB=（ ）
A．1116B．712C．−25D．−59
【答案】A
【分析】利用余弦定理进行求解.
【详解】由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=4+16−92×2×4=1116.
故选：A
10．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=4,b=5,C=π3，则c=（ ）
A．61B．21C．26D．19
【答案】B
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得c=a2+b2−2abcsC=42+52−2×4×5×12=21.
故选：B
题型二、余弦定理的边角互化
1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cs B等于（ ）
A．14B．34C．24D．23
【答案】B
【分析】利用余弦定理求得csB.
【详解】b2=ac,c=2a，则b2=2a2，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a22a⋅2a=34.
故选：B
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccsA，则△ABC的形状为（ ）.
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理可得b=cb2+c2−a22bc，化简得c2=a2+b2，
由勾股定理的逆定理可知△ABC是以角C为直角的直角三角形.
故选：B.
3．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=ab=3，则ΔABC的面积为
A．34B．32C．32D．34
【答案】D
【解析】将边的关系式整理成余弦定理的形式，求得csC，进而得到C；根据三角形面积公式求得结果.
【详解】由a2+b2−c2=ab得：a2+b2−c22ab=12，即：csC=12
∵C∈0,π ∴C=60∘
∴SΔABC=12absin60∘=12×3×32=34
本题正确选项：D
【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，关键是能够将已知的边的关系式整理为余弦定理的形式，从而求得角.
4．在ΔABC中，若sinA＝2sinC，B=60°，b=23，则ΔABC的面积为.
A．8B．2C．23D．4
【答案】C
【分析】由正弦定理结合已知sinA＝2sinC，可以得到a、c的关系，再根据余弦定理结合
B=60°，b=23，可以求出c、a的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】由正弦定理可知：asinA=csinC，而sinA＝2sinC，所以有a=2c，由余弦定理可知：b2=a2+c2−2ac⋅csB⇒12=4c2+c2−4c2⋅12⇒c2=4⇒c=2，所以a=4，
因此ΔABC的面积为12⋅ac⋅sinB=12×4×2×32=23，故本题选C.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
5．在△ABC中，若2acsB=c，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.
【详解】因为2acsB=c，
所以由余弦定理得2a⋅a2+c2−b22ac=c，
所以a2+c2−b2=c2，所以a2=b2，
因为a>0,b>0，所以a=b，
所以△ABC为等腰三角形，
故选：A
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2=b2+c2−bc，则角A的值为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
【答案】C
【分析】由余弦定理的边角关系及三角形内角的性质，即可求角A.
【详解】由已知及余弦定理知：csA=b2+c2−a22bc=12，而0