新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴5指、对数式比较大小压轴问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴5指、对数式比较大小压轴问题（2份，原卷版+解析版），共9页。
一．单选题.
【教材溯源题】
1．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小.
【详解】，，，
令，，
，
因为，所以，
令，，在上恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，
故选：D.
【2025上贵州铜仁期末】
2．已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论.
【详解】因为，所以，可得；
则，即，
又，即，
易知指数函数单调递减，可得，
又幂函数单调递增，可知，
即可得；
因此可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论.
【2024福建名校联考】
3．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可以通过取对数进行比较，可以构造函数，利用函数的单调性求解.
【详解】，，则，，而，则有，即；
设，，则在上为增函数，则有，即.
综合可得：．
故选：D
【2025上四川宜宾期末】
4．已知，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性及在上的单调性，再比较大小即可.
【详解】函数的定义域为，
，则函数是偶函数，
当时，，任意，
，，则，于是，
而，因此，函数在上单调递增，
又
则，所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键.
【2024湖南长沙长郡中学模考】
5．已知实数分别满足，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出.
【详解】由，则，令，，
则，
则当时，，故在上单调递增，
故，
即，即，
由，则，
令，，则，
令，则当时，恒成立，
故在上单调递增，又，故恒成立，
故在上单调递增，故，
即，即，故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小.
【2024湖南邵阳模考】
6．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，构建函数，利用导数分析可知在上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.
【详解】因为，
两边取对数得：，
令，
则，
令，则，
可知在上单调递增，
因为，则，可知恒成立，
则，即，可得，
则在上单调递增，可得，
可得，即，
又因为在上单调递增，所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数，利用导数判断其单调性.
【原创】
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，通过求导确定，得到，再构造函数，求导确定单调性可判断，再构造函数，通过求导确定单调性，即可判断；
【详解】令，则，
即函数在上单调递增，所以，
即当时，，又是增函数，所以．
令，则，
即函数在上单调递增，所以，
则，即，所以．
令，
则，
即函数在上单调递增，
所以，即，即．
令，则，
显然在上单调递增，且，所以当时，
，即在上单调递增，所以，
即，即．
综上可知，，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造，通过求导确定单调性得到，时，，
【2024四川遂宁二模】
8．已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可将所给式子变形成、、，则可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.
【详解】由，可得，
由，可得，
由可得，
令，，故在上单调递增，
令，，故在上单调递增，
令，，故在上单调递减，
令，则，
则时，，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，，，，
，，，，
为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标，
为函数与函数的交点横坐标，结合函数图象可得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用所给式子，将其变形成、、，从而可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.
【2024四川成都第七中学模考】
9．已知a，b，c满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，
根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.
【教材溯源题】
10．设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】，
，
设函数，
则，
设，则，
所以在上单调递减，且，即，
所以在上单调递减，
则，即，所以.
设，则，
所以在上单调递增，且，
即，
得，所以，即，解得.
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
【2024陕西咸阳模拟预测】
11．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用单调性可得，作差法比较，可得结果.
【详解】由，
构造函数，则，
当时，，则在上单调递增，
而，所以，即，也就是；
下面再比较与，
，
因为,，
所以，则，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.
【2025下江苏淮安开学考试】
12．已知是奇函数，实数、均小于，为自然对数底数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的性质可得出，由已知可得出，，由结合对数函数的单调性可得出，可得出，可得出，并推导出、，即可得解.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，可得，所以，，
，则函数为奇函数，符合题意；
因为，，
则，，
因为，则，
所以，即，即，
即，
因为，，则，则，故，即，
又因为，即，可得或，
则或，即，同理可知，，故.
故选：D.
【2024全国模拟预测】
13．已知：，，，那么三者的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先比较和，注意到，，从而通过比较的大小可，再比较和，注意到，而又有,从而只需要证明即可.
【详解】因为，
，而，
所以，得，
令，则，
所以在上递减，
因为当时，，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
【2024重庆模拟预测】
14．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
二．多选题.
【原创】
15．若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】把不等式等价变形，结合函数的单调性可得，逐项判断可得正确答案.
【详解】由得，
令，则．
因为函数在上都是增函数，所以在上是增函数，
所以，故A正确．
当时，，故B错误．
因为函数在上单调递增，所以由得，故C正确．
因为函数在上单调递减，所以由得，故D正确．
故选：ACD．
【2024全国专题练习】
16．下列大小关系正确的是．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当时，，即可判断C，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，因为，
即，显然，，
所以，故A正确；
对于B，，所以，又，所以，故B正确；
对于C，当时，函数与函数有个交点，，
作出和的图象，如图所示，

结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误；
对于D，设，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即，化简得，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是构造函数，利用导数说明函数的单调性，从而比较函数值的大小.
【2025上广东深圳期末】
17．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得.
【详解】由，可得，则，
对于A，由是增函数，是减函数，可得，
故，故A正确；
对于B，因为，所以，
又在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以，则有，故B错误；
对于C，由，又在区间上单调递减，
可得，故有是减函数，则，
又由在上是增函数可得，，因此，故C正确；
对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得，
因此，两边取对数可得，故D正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法：
（1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；
（2）借助中间值进行比较，常用和.
【2025下湖南衡阳阶段练习】
18．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】先证明：对任意，，有，利用此结论，当时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD.
【详解】先证明结论：对任意，，有；
证明如下：因为，所以为减函数，
所以，即，
设，即，则为减函数，
所以，即，
从而，也就是，
当时，可得，A正确，B错误；
应用上面的结论可得：
，故D正确，C错误.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意，，有，是后续解题的关键.
【2024湖北一模】
19．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】将，变形作差，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；将变形，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；根据，即可判断.
【详解】，，
，
令，，
则，在上单调递减，
所以，即，故正确；
因为，所以，
令，，
则，在上单调递减，所以，
即，故正确，
因为，，所以，故正确.
故选：.
【点睛】方法点睛：数的大小的比较，通过构造函数，通过求导利用函数的单调性求解是解题的关键.
【2024全国模拟预测】
20．已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
【答案】ABC
【分析】由原方程可得，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A；令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD.
【详解】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
三．填空题.
【2024广东东莞期中】
21．已知均为正数，且，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】设，然后分别求出，然后将对数式和指数式利用公式变形，判定大小关系.
【详解】设，因为均为正数，所以，
则，所以，
同理，，
所以只需要比较的大小即可.
,,因为，所以，
，，因为，所以，
又，所以，
故，所以，
故答案为：.
【2025江西赣州一模】
22．已知，记，，，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】根据换底公式结合对数函数的单调性可得，分析可得，，由此可得的大小关系.
【详解】由换底公式等价变形得：，
因为，所以，故，
因为，所以，故，
所以.
由，可得，
由，可得，
综上得，.
故答案为：.
【2025上甘肃天水期末】
23．定义在上的奇函数满足，当时，，设，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质可得，再将变形，借助指数函数单调性比较大小.
【详解】因为是在上的奇函数，所以，即，
则，
，
，
当时，，则在上单调递增，由，得，
而，则，即，又，则，，
于是，即，
因此，，即，则，
而，即，因此，即，
所以.
故答案为：
【2024安徽三模】
24．已知，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】由，根据数值的特点，构造函数和，再利用函数的单调性，赋值后比较函数值的大小.
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故答案为：
【点睛】利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.
（2024·山西·三模）
25．已知函数，若，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系.
【详解】因为，
则，
则关于直线对称，
当时，，
根据复合函数单调性知在上单调递减，
且在上也单调递减，
则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增.
令，则，，
所以在上单调递增，且，所以即.
令，则，
设，，
所以单调递减且，因此，
所以单调递减且，所以，即.
由得，所以.
又因为，且，
所以.
设，，则，
则在上单调递增，则，
即，即在上恒成立，
即，所以.
所以，则，
故，而，
即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到，则比较出三者大小.
1.试题特点分析：指、对数式比较大小试题不仅综合考查指数、对数、幂函数的运算性质、图像、单调性等，还能够与导数、不等式相结合.试题虽然简短却内涵丰富，集指、对、幂、不等式等众多的知识点于一体，体现了在知识交汇处命题的原则，较好地考查学生的数学核心素养.
2.解题方法阐述：解决指、对数式比较大小问题主要方法有：
（1）单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
（2）中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）作差法、作商法：
①一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；②作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
（4）估算法：
①估算要比较大小的两个值所在的大致区间；②可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
（5）构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
（6）放缩法：
①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；②指数和幂函数结合来放缩；③利用均值不等式的不等关系进行放缩.
3.解题经验分享：第一、熟练掌握函数的性质与图象，只有准确把握图象和性质，才能进行后续的解题步骤. 第二、要善于积累构造函数的方法，学会灵活的构造函数.第三、合理估算和找中间量.