新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴6圆锥曲线与解三角形、向量、数列等的交汇问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴6圆锥曲线与解三角形、向量、数列等的交汇问题（2份，原卷版+解析版），共9页。
【原创】
1．椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中中由求解.
【详解】由为直角三角形，且，，成等差数列，可知不是最长的边，故为直角边，
结合椭圆的对称性，不妨设,
由椭圆的定义可知的周长为，又，
所以，进而可得，
由，
故，，
在中，，所以，
故选：B
【2025全国专题练习】
2．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先应用正弦定理及余弦定理得出，再结合双曲线的性质得出的取值范围.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则，
可得，
显然，可得，即，
以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
可知点A在以为焦点的双曲线上（左半支且不含顶点），且，
因为为锐角三角形，显然为锐角，取两种临界状态：
若，则；
若，则，可得；
结合双曲线性质可知的取值范围为.
故选：D.
【2024湖北荆州模拟】
3．已知，向量满足，则的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据椭圆和圆的定义确定点和点的轨迹，然后求出圆心到椭圆上一点的最大距离，最后加上圆的半径得到的最大值.
【详解】记，
不妨设，
，
，点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其方程为：；
由得，
即，，
，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，
，
设坐标为，
当时，，
.
故选：D.
【2024安徽合肥二模】
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据题设条件得到，，再利用在椭圆上，得到，即可求出结果.
【详解】如图，设，，则直线的方程为，
令，得到，所以，
，因为，
所以，得到，故，
又，所以，得到，
又，所以，得到①，
又因为在双曲线上，所以②，又③，
由①②③得到，所以，
解得或，又，所以，得到，
故选：D.
【2025上四川期末】
5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率.
【详解】如下图：
由可得，即，
又，可得为的中点，故，
又，故为等边三角形，
设的边长为，
由双曲线定义可知，，，
所以，，
又，故，故，
在中，由余弦定理可得，
即，可得
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率.
【2024山东青岛模拟】
6．已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程.
【详解】由，可得，
而，可知点在的平分线上.
圆，圆心为原点，半径，
连接，延长交于点，连接，
因为且，所以，且为中点，，
因此，，
点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，
可知，由，得，故，
双曲线方程为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线.
【2025上辽宁沈阳期中】
7．已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得.
【详解】设、、，
设切线上任意一点为，则，，
所以，即，
即切线的方程为，
同理可得切线的方程为，
所以且，
因为点、的坐标都满足方程，
所以直线的方程为，
取的中点，连接，则，，
又，即，
所以，
因为，所以，则，
所以.
故选：D.
【2025上江苏南通期中】
8．已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，利用题中条件得，结合进行求解即可.
【详解】

由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为，
过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
由，则为中点，故，，
又圆的半径为，则可得，

又，
当三点共线时，取得最小值为，
则可得，
故选：D．
【2024安徽安庆三模】
9．直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段与线段的中点必重合
B．线段的长度不可能成等差数列
C．
D．线段的长度可能成等比数列
【答案】B
【分析】联立直线与双曲线方程以及直线与渐近线方程，得韦达定理，即可求解A，根据等差中项以及等比中项，即可求解BD，根据中点关系即可求解C.
【详解】设直线，
联立得，
于是，
联立得，
于是，所以，
因此线段与线段的中点必重合，A正确；
假设线段的长度成等差数列，则，
所以，于是，
两边同时平方并整理得，
于是，
展开整理得，该方程有解，所以存在直线，
使得线段的长度成等差数列，B错误；
设中点为，则，所以，C正确；
同上推理，当线段的长度相等时，结合上述推理可知这是有可能的，
此时线段，的长度成等比数列，D正确.
故选：B．
【2025上重庆期末】
10．已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得.
【详解】
如图，不妨设，
由题意，，
则，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成关于的方程的两根，
则，故得，（*）.
在中，因，
运用余弦定理，由可得：，
化简得：，
将（*）代入整理得：，
化简得：，即，
由图可得，则有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得.
【2024湖南二模】
11．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解.
【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点，
由切线长定理和的对称性，可设.
由，可得.
在中，由余弦定理，.
于是根据椭圆和双曲线的定义，.
接下来确定的取值范围.
设，
在中，，
于是由余弦定理，，
整理得，于是，故，
又因为在内单调递增，可知，
可得，所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；
2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
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12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，由双曲线的定义可得，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，，设，则，
由得
，解得，所以，
所以.
故选：D
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解.
二．多选题．
【原创】
13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为，直线与相交于，两点．若为的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义结合余弦函数的定义可得A正确；由抛物线的定义结合余弦定理可得B错误；由二级结论结合三角形相似可计算判断C正确；在中由余弦定理可得D正确.
【详解】不妨设抛物线的方程为，则，准线方程为．
对于A，如图，记为准线与轴的交点，设，则，过作准线的垂线，垂足为，
则，故A正确；
对于B，连接，则，又由A可知，，则为正三角形，．
在中，由余弦定理得
，故B错误；
对于C，由图易知，即，
从而，，由二级结论得，，可得，故C正确；
对于D，在中，，，
由余弦定理得，，故D正确．
故选：ACD．
【2025上湖南永州期末】
14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是面积为2的正三角形，则
C．在中，恒成立
D．若，则内切圆半径的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，由，可得，则得；对于B，由已知可得，，即可求得；对于C，由已知可得，即，又，联立化简得，即可判断C；
对于D，由已知，记内切圆半径为，圆心为，则，可得 ，由且，可得，即，即可判断D．
【详解】对于A，∵，所以的中垂线与双曲线有交点，
所以，解得，故选项A正确．
对于B，∵是面积为2的正三角形，，∴，
则，
又∵，则，∴，
，即，
∴，故选项B正确；
对于C，设，，，则，又，
∴，即，
，
又，联立化简得，故选项C错误．
对于D，若，则，
记内切圆半径为，圆心为，圆与切于点，
则，，，
又且，
∴，
∴，
即，故选项D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：C选项，由已知得到，得到后，由诱导公式及二倍角公式得到，再与联立化简.
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15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．的面积为D．直线的斜率为
【答案】AD
【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，因为，所以，，
由双曲线的定义可得，所以，，A对；
对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且，
由可得，则，
在中，由余弦定理得，
即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得，B错；
对于C选项，因为，则为钝角，
所以，，
，C错；
对于D选项，设，，则，可得，
因为，则，
由得，
所以，，则，
则直线的斜率为，D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
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16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．，面积记为，，则
【答案】ACD
【分析】根据可得，即可判断A；，利用余弦定理求出，根据双曲线的定义结合的值可求出可确定C；从而在直角三角形中可得的齐次式，可求渐近线方程确定B，根据直角三角形的面积公式可确定D.
【详解】对于选项A：因为，
可得，故A正确；
对于选项C：因为，可得，
不妨设，
在中，由余弦定理得，
可得，则，可知，
所以，故C正确；
对于选项B：在直角三角形中，因为，可得，
在三角形中，因为，可得，
因为，可得，
即，
在直角三角形中，，即，
可得，则，即，
所以渐近线方程为，故B错误；
对于选项D：因为，，则，
即，所以，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【原创】
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为双曲线左支上的一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法不正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．若，且，则
C．以线段为直径的两个圆外切
D．若点到的一条渐近线的距离为，则的实轴长为4
【答案】ABD
【分析】根据斜率的定义进行求解离心率判断选项A；利用双曲线的定义和,勾股定理，判断选项B；再根据圆的半径和中位线进行求解，判断选项C；利用渐近线的方程和点到渐近线的距离，判断选项D.
【详解】对于A，设，则，因为，直线与的斜率之积等于3，所以，得，故A说法错误．
对于B，因为，所以，而为双曲线的左支上一点，
根据双曲线的定义可得，又，且，
所以，
则，由，
可得，
即，解得（负值舍去），故B说法错误．
对于C，设的中点为为原点，连接，如图，则为的中位线，
所以，
则以线段为直径的圆，圆心为，半径，以线段为直径的圆，
圆心为，半径，所以，故两个圆外切，
故C说法正确．
对于D，因为点到的一条渐近线的距离为，所以，
又由前面的推理可知，所以，故的实轴长为，故D说法错误．
故选：ABD．
速解，对于B选项，由二级结论“双曲线焦点三角形的面积”知，再由二级结论得，故，故，故B说法错误．
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18．抛物线C：的准线为，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，则（ ）
A．为锐角三角形B．的最小值为4
C．，，成等差数列D．，，成等比数列
【答案】BD
【分析】设，，联立方程可得韦达定理.对于A：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断.
【详解】由题意可知：焦点，准线，直线的斜率不为0，且与抛物线必相交，

设，，则，
可得，
联立方程，消去x可得，
则，
对于选项A：因为，可得，
可知，所以为直角三角形，故A错误；
对于选项B：因为，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项CD：因为，
则
，
即，显然不恒相等，且不为0，
所以，，成等比数列，不成等差数列，故C错误，D正确；
故选：BD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
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19．已知，为上一点，且满足. 动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则为线段BC的中点
B．当时，的面积为
C．点到的距离之和的最大值为5
D．的正切值的最大值为
【答案】ACD
【分析】对A，利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B，根据余弦定理可得，进而可得，结合三角形面积公式求解即可；对C，先证明，然后根据两点之间线段最短可证明，再给出取等的例子即可；对D，用余弦定理证明，再得到，最后给出一个取等的例子即可.
【详解】对A，若，则，从而. 再由知.
故，这得到.
所以，从而为线段BC的中点，故A正确；
对B，当时，，则，又，
故，故，故B错误；
对C，由于，故，从而，故.
而，故.
这表明，即，化简即为.
所以，故.
由于，故，从而. 再由，知.
当点在同一条直线上顺次排列，且，，，时，验证知点满足全部条件，且此时有.
所以点到的距离之和的最大值为，故C正确；
对D，一方面由于，，故，从而.
所以，即.
所以
，
所以.
由，及，可知.

另一方面，如上图所示，考虑一个边长为的正三角形，分别设的中点为，再分别设的中点为.
则，，，，，.
所以满足全部条件，且此时.
综上，的最大值是，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在D选项中，需要先用余弦定理考虑的下界，再相应地推出的上界，进而得到的最大值.
三．填空题．
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20．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】设，则，利用勾股定理得到
，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.
【详解】依题意，设，则，
因为点在以为直径的圆上，则，
在Rt中，，则，
故或(舍去)，所以，
则，故，
所以在中，，
整理得，则，则，则，
故的渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程，
【原创】
21．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于两点，交的右支于点．若，，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，然后根据条件和双曲线的定义，结合几何性质求解.
【详解】法一：
如图，设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，则，
因为，所以，
因为O为的中点，且，所以，且，
由勾股定理得，即①，
连接，由垂径定理得，即，即②，
联立①②得，
又由双曲线定义可得，即，
化简得，方程两边同除以得，，
得或1（舍去），则，故渐近线方程为．
法二：
如图，设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，则，
因为，所以，
因为O为的中点，且，所以，且，
设，则，
利用，
由，
由，
所以，得，故渐近线方程为．
故答案为：
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22．设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可.
【详解】
设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，
，，；由已知有：，点在椭圆上，
根据椭圆定义有：，所以，，
在中，，，
，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，
设，则，，在中由余弦定理有：
,
解得，即.
故答案为：
【2025全国专题练习】
23．抛物线的焦点恰好也是椭圆的一个焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，PI交轴于，且，点是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与轴的交点为，若，则 .
【答案】
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，利用等比数列的通项公式求出答案.
【详解】由椭圆的焦点在轴上得.
如图，连接，因为是的内心，所以平分.在中，
由正弦定理得，在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以，又，所以，
同理可得，所以.
由椭圆定义可知，，
所以，，即椭圆的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，即，则，
故抛物线在处的切线方程为，
又，可得，即.
令，则，又，所以，
所以是首项为2，公比为的等比数列，所以.
故答案为：
【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
【2025上海期末】
24．在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ．
【答案】
【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可.
【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方，
取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点，
因为，由正弦定理可得，
设，则，
则，且，
可得，
又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
可得，，
则，可得，即x轴，
则，可得直线的斜率为，
设，则，
则，，
整理可得，解得，
又因为，
且，可得，
即，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值.
【2025上海开学考试】
25．平面向量为两个相互垂直的单位向量．，满足，，则在方向上的数量投影的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设平面向量，在分别在坐标轴上，设，，由双曲线和圆的定义得到点，的轨迹方程，由投影的定义作出图像，然后由双曲线渐近线求得最值.
【详解】∵平面向量，为两个相互垂直的单位向量，
∴设平面向量，在直角坐标系的轴和轴上，且起点均为坐标原点.
则设，，即，
，
∵，，
∴，
由双曲线的定义可知，点在以双曲线上，
，即，
由圆的定义可知，点在圆上，
如图：
显然当点坐标为或，点坐标为或时，
在方向上的数量投影为0.
由对称性，我们取点在一象限.
过点分别作的垂线，分别垂直于点.
即为在方向上的数量投影，
显然当时，，此时最大，
因为，，
所以当最小时，最大，
又因为双曲线的渐近线为，设，则，即，
所以.
∴.
故答案为：
【点睛】关键点睛，本题的关键需要将向量问题通过模长转变为双曲线上的点和圆上的点，然后利用双曲线的渐近线来求得最值.
1．试题特点分析：高考对圆锥曲线的考查，往往出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与数列交汇等等，圆锥曲线和三角函数、平面向量或数列的结合：往往是以三角形或向量、数列作为辅助条件考查圆锥曲线的几何性质，尤其是涉及焦点三角形问题，经常要利用正弦定理、余弦定理或勾股定理进行处理．
2．解题方法阐述：首先要理解题意，对题中所考查的知识点要正确理解．其次明确圆锥曲线知识和相关交汇知识间的关系，如通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．
3．解题经验分享：第一、熟记相关性质、定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才能进行后续的解题步骤． 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验来解决问题．第三、识别关键信息，正确进行推理．