新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴4立体几何与教师版几何的交汇问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习题型突破小题提升练疑难压轴4立体几何与教师版几何的交汇问题（2份，原卷版+解析版），共9页。
一．单选题.
【2025上重庆期中】
1．如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【2024江苏盐城模拟】
2．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【2024高三全国专题练习】
3．如图，在棱长为的正方体中，点E，F在线段BD上，点H，G分别在线段AD，AB上，且，，，动点P在平面内．若PH，PG与平面所成的角相等，则BP的最小值是( )
A．B．C．5D．
【2025上海闵行期末】
4．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【2025上江苏苏州期中】
5．已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【2024武汉调研测试】
6．在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【2025上北京期中】
7．如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点作与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【2025上江西抚州阶段练习】
8．设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【2025上山东济南阶段练习】
9．祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线，若直线与在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【2024四川成都期末】
10．如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．多选题.
【原创】
11．如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则（ ）
A．若在线段上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆
D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为
【2025上河北衡水阶段练习】
12．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（ ）
A．圆的面积为B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为D．抛物线的焦点到准线的距离为
【2024河北衡水三模】
13．已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为B．点的轨迹长度为
C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为D．三棱锥外接球与球内切
【2025上浙江宁波期末】
14．胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线的一部分.已知曲线上的点到的距离与到轴的距离之积为6，若曲线上的点在第一象限，则（ ）

A．的最大值为
B．
C．曲线的内接矩形的面积最大值为24
D．一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线（），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4
【原创】
15．用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有
【原创】
16．如图，平面平面为线段的中点，直线与平面所成角的大小为，点为平面内的动点，则（ ）
A．球心为、半径为2的球被平面截得的截痕长为
B．若到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线
C．若到直线的距离为1，则的最大值为
D．满足的点的轨迹是椭圆
【原创】
17．三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值
C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
【2024山东淄博模拟】
18．把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（ ）

A．当平面时，为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
三．填空题.
【2025上海期末】
19．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为 .
【2025上黑龙江哈尔滨期末】
20．三棱锥中，已知，，，，当平面与平面的夹角最大时，三棱锥的体积的最大值为 .
【2025上山东东营期末】
21．已知平面平面，线段在平面内，为线段的中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为 ，如果，在平面内过点的直线与交于两点，则三棱锥的体积的最大值为 .
【2024江苏南通二模】
22．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．

【2024山东青岛三模】
23．已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .
【2024上海嘉定期末】
24．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ．
【2025上四川成都期末】
25．假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图，地面内有圆，其圆心在线段上，且与线段交于不与重合的点，地面，且，点为人眼所在处，视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径为 . 当圆的半径满足时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为 .
1.试题特点分析：在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生;另一方面从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)是平面截圆锥面所产生的截线;从轨迹的观点看，空间中的曲面(曲线)是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多干丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视.
2.解题方法阐述：解析几何和立体几何交汇的问题因为其新颖性、应用性和综合性备受命题者的青睐，主要有以下题型：
（1）以解析几何为背景的立体几何题：有些几何体通过投影、切割等方式得到解析几何中的曲线或解几中的一些曲线经过翻转和旋转得到立几中的几何体，通过研究解几中的曲线，从而计算几何体的面积、体积等度量.
（2）以立体几何为背景的解析几何题：有些问题以几何体为背景，通过研究立体几何中点、线、面的位置关系或数量关系，从而转化为平面图形问题，在坐标系的基础上，从而判断动点的轨迹、求曲线的方程等.
（3）解析几何和立体几何综合应用题：在实际生活中有很多立体几何和解析几何相结合的实例，它们是高考数学应用题命题的源泉，平时通过用数学的眼光观察生活，就能够顺利解决该类型问题.
3.解题经验分享：第一、熟记相关定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才能进行后续的解题步骤. 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验来解决问题.第三、识别关键信息，正确进行推理，尤其是“立体问题平面化”.