新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题17 反函数的性质及其应用讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题17 反函数的性质及其应用讲义（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了核心模型，解题步骤，常见“反函数对”及对应结论，易错提醒，典型例题及解题模板等内容，欢迎下载使用。
微专题教学内容
一、核心模型
这类题的典型特征：
已知两个方程：
原函数f(x)+kx=C（ f(x) 为某函数， k,C 为常数）；
反函数f−1(x)+kx=C；
求两个方程的解 x1,x2 的和（或其他组合值）。
二、解题步骤（通用流程）
步骤1：识别“互为反函数的函数对”
先确定题目中涉及的两个函数是互为反函数的关系（高中常见组合）：
指数函数与对数函数： f(x)=ax 与 f−1(x)=lg⁡ax（ a>0,a≠1）；
奇次幂函数与对应根函数： f(x)=xn（ n 为奇数）与 f−1(x)=nx；
步骤2：转化方程为“函数 + 一次项 = 常数”形式
将题目中的方程整理为：
方程1（原函数）： f(x1)=C−kx1；
方程2（反函数）： f−1(x2)=C−kx2；
步骤3：利用“反函数的对称性质”建立关系
互为反函数的函数图像关于直线 y=x 对称，因此：
若点 (x1,C−kx1) 在原函数 f(x) 的图像上，则其对称点 (C−kx1,x1) 必在反函数 f−1(x) 的图像上。
步骤4：结合“单调性”确定解的唯一性
高中涉及的这类函数（如 f(x)+kx）通常是严格单调函数（通过导数或定义可证），因此方程 f(x)+kx=C 的解是唯一的。
结合步骤3的对称点，可得： x2=C−kx1（或对应变形）。
步骤5：计算目标值
将 x2=C−kx1 代入目标表达式（如求和），化简得结果：
例如求 x1+x2，则 x1+x2=x1+(C−kx1)；若 k=1，则直接得 x1+x2=C。
三、常见“反函数对”及对应结论
四、易错提醒
变量替换的定义域：若方程中出现“ x−1”等变形，需先通过变量替换（如令 t=x−1）将方程转化为标准形式，避免定义域错误；
单调性的必要性：必须验证“函数 + 一次项”的单调性，确保解的唯一性——若函数不单调，可能存在多个解，对称关系不成立；
直线的对称性：核心是“ y=C−kx”与“ y=x”的交点，若一次项系数 k≠1，需结合对称点坐标的变换规则调整（如 k=2 时，对称关系为 x2=C−2x1）。
五、典型例题及解题模板
例题1：已知方程 ex1+x1=2 和 lnx2+x2=2，求 x1+x2。
解题步骤：
识别反函数对： f(x)=ex 与 f−1(x)=lnx；
由对称性得 x2=2−x1；
直接求和： x1+x2=2。
例题2：若 x13+x1=5 且 3x2+x2=5，求 x1+x2。
解题步骤：
识别反函数对： f(x)=x3 与 f−1(x)=3x；
由对称性得 x2=5−x1；
结果： x1+x2=5。
模板总结：
将方程整理为“函数 + 一次项 = C”形式；
利用反函数对称性建立 x1 与 x2 的关系；
结合单调性验证解的唯一性；
代入目标表达式求解。
典例精讲
【典例1】
函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值.
【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，
函数是函数的反函数，所以，即，
故选：A.
会一题通一类
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则 ．
【答案】
【分析】解法一：分析可得，变形得出，构造函数，分析函数的单调性，结合，即可得出实数的值；
解法二：分析可得，变形得出，作出函数直线、的图象，数形结合可得出实数的值.
【详解】解法一：点关于直线的对称点为，
则该点在的图象上，即，变形得，
从而，即，即，
构造函数，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
又因为，故.
解法二：点关于直线的对称点为，
则该点在的图象上，即，变形得，
从而，即，
作出函数直线、的图象如下图所示，
由图可知，两个函数交点横坐标为，所以.
故答案为：.
【典例2】
若，分别是方程，的根，则（ ）
A．2022B．2023C．D．
【答案】B
【分析】由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
会一题通一类
1．已知分别是方程与的实数解，则的值为 ．
【答案】10
【分析】结合函数的图象，将看成与的交点的横坐标，看成与的交点的横坐标，因函数与的图象关于直线对称，直线也关于直线对称，则得点与点也关于直线对称，即可列式计算.
【详解】由可得，由可得，
不妨记，
依题意，为与的交点的横坐标，
为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下：
因函数与是一对反函数，图象关于直线对称，
而直线与直线垂直，故也关于直线对称，
则点与点也关于直线对称，
故得，化简得：，即.
故答案为：10.
2．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可.
【详解】由可得：，
又由可得：.
而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
下面作出函数，，，的图象：
由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标，
方程的根为，即为如图交点的横坐标，
由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：，
根据同构方程思想可得：满足和的根必有：，
所以，
故选：A.
【典例3】
已知，则 .
【答案】2026
【分析】法一：变形得到，，构造，则，根据函数单调性得到，
故；
法二：设与的交点为，与的交点为，根据对称性得到与关于对称，求出.
【详解】法一：，
，
设，则，
由于在R上单调递增，故，
故；
法二：，
设与的交点为，
与的交点为，
由于和为反函数，
即和关于对称，
而和垂直，关于对称，
联立，解得，
所以与关于对称，
故，所以.
故答案为：2026
【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解
会一题通一类
已知分别是函数，的零点，则的值为 .
【答案】
【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果.
【详解】由题意知：，
分别为、与直线交点的横坐标，
与关于直线对称，关于直线对称，
则由得：，，
.
故答案为：.
学后测评
一、单选题
1．已知函数与的图象关于对称，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为.
【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数，
即可得．
因为，所以，
因为，所以在上单调递减，
即可得，即的值域为．
故选：D．
2．已知 或，则集合中所有元素的和为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】由题意，集合中元素分别是与，与交点的横坐标，作出图象，利用反函数的性质求解.
【详解】由得，
则方程的根是与交点的横坐标，
由得，
则方程的根是与交点的横坐标，
与互为反函数，图象关于直线对称，
与的交点为，如图，
则，即集合中所有元素的和为10．
故选：B．
3．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.
【详解】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
4．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
5．已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值．
【详解】由题意，，
令，
因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且的图象也关于直线对称，
设，
则关于直线对称，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
则．
故选：A．
6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论.
【详解】由题意可得，可得，
，则，所以，，
作出函数、、的图象如下图所示：
对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，
又因为函数、的图象关于直线对称，
所以，点、关于直线对称，则，故.
故选：B.
7．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果.
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故选：A.
二、多选题
8．已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
因为,所以，
则，即，D错误.
故选：BC

9．已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D.
【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，
因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，，
又因为在直线 上，所以，即，故A正确；

对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C：因为，，
所以，
所以，故C错误；
对于D，，因为，所以，
由A可知，所以，
两边同时减，得，
又因为，所以，
由题可知，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，得到C，D两点的坐标，结合函数的对称性得到，结论；对于B，结合A中的结论即可判定；对于C，结合B中的结论，以及代入消元法，结合基本不等式即可求解判断；对于D，利用乘1法，换元，并结合函数的单调性进行判断.
【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，
则，，
又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称，
可知点，D两点关于对称，则，，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，且，则，
取倒数有，即，故B错误；
对于选项C：由得，当且仅当时取等号，
由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确；
对于选项D：因为，则，
可得，
令，可知在区间上单调递减，
所以，故D正确；
故选：ACD.
11．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项，看出与互为反函数，确定也关于对称，求出，两点关于对称，，，，A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到，，，构造，，求导得到其单调性，从而求出；C选项，由基本不等式得到，构造，求导得到其单调性，得到，得到；D选项，先根据得到，再用作差法比较大小.
【详解】与互为反函数，即两函数关于对称，
而与垂直，故也关于对称，
联立，解得：，
故，两点关于对称，
即，且，
不妨设，，
画出图象如下：
A选项，，当且仅当，即时等号成立，
又，故等号取不到，A正确；
因为，所以，所以，
因此，故，
又为与的交点，故，
所以，令，，
其中在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，B正确；
因为，，
所以，因此有，
设，，
因为，所以，因此在上单调递增，
当时，有，即，
因此，C错误；
因为，所以，
所以，
即，D正确.
故选：ABD
【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.
三、填空题
12．设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则
【答案】
【分析】根据反函数的概念，代值计算即可.
【详解】根据题意，，即，∴.
故答案为：7
13．设函数的反函数是它自身，则常数 ．
【答案】
【分析】求出反函数，与原解析式比较列式求解即可.
【详解】因为，所以，则函数的反函数是，
所以恒成立，即恒成立，所以.
当时，，其定义域为，值域为，
定义域和值域相同，故满足题意，所以.
故答案为：
14．已知分别是方程与的根，则的值为 .
【答案】
【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解.
【详解】易知分别是函数与及函数与交点的横坐标，
易知函数与函数互为反函数，即其图象关于对称，
且也关于对称，
即函数与及函数与交点关于对称，
又易得与交点为，所以的中点为，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为反函数与函数对称性的问题，结合图象即可得解.
15．设、分别是方程与的根，则 .
【答案】
【分析】根据题意数形结合，分别作出函数，，的图象，利用反函数的对称性求解即可.
【详解】如图，分别作出函数，，的图象，
且函数与、分别相交于点，.
由题意，．而与互为反函数，
直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称.
所以.所以.
故答案为：.
16．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．
【答案】3
【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以.
【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.
因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.
又，所以.
所以.
故答案为：3
反函数对
方程形式
解的关系（ k=1时）
y=ax 与 y=lg⁡ax
ax1+x1=C； lg⁡ax2+x2=C
x1+x2=C
y=x3 与 y=3x
x13+x1=C； 3x2+x2=C
x1+x2=C