新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题15 利用导数研究双变量问题讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题15 利用导数研究双变量问题讲义（2份，原卷版+解析版）
微专题教学内容
破解双参数不等式的方法:
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
典例精讲
【典例1】
设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论.
【详解】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
（2）设，则，从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，则
.
当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，则对有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，则对任意都有，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对，有.
证明：前面已经证明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知当时，当时.
所以在上递减，在上递增.
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有.
对任意的，设，则.
由于单调递增，且有
，
且当，时，由可知
.
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.
故在上递减，在上递增.
①当时，有；
②当时，由于，故我们可以取.
从而当时，由，可得
.
再根据在上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即.
根据和的任意性，取，，就得到.
所以.
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.
而根据的单调性，知或.
故一定有成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论.
会一题通一类
1.已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
2.已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
【答案】(1)；
(2)时，单调递减区间为，单调递增区间为;
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间；
（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
【典例2】
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；
（2）法一：由不等式化简得在上恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；法二：由不等式恒成立，转化为在上恒成立，再变形为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；
（3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，再根据函数的图象，结合函数的图象和性质，转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值.
【详解】（1）的定义域为
由，解得
所以当及时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增
（2）法一：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
设，
则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值
①当时，因为，所以不等式恒成立：
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
法二：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
即在上恒成立．
设，则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值．
因为，所以，即
①当时，因为，所以不等式恒成立；
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
（3）证明：要证，只需证：
由，只需证：
不妨设，则有：；
两边取指数得，化简得
设，则
由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，
则，即，从而．
要证，只需证：
由于在上单调递增，只需证：，
又，只需证：
只需证：．
设，则
设，则在上单调递增．
所以，从而
所以在上单调递减，从而，则，
所以
会一题通一类
1．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，其中，证明：．
【答案】(1)的递增区间为，递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得对恒成立，令，，求出函数的导函数，分、两种情况说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
（3）依题意可得，即，由（1）不妨设，即可得到，令， 利用导数说明单调性，即可证明，再令，利用导数说明单调性，即可证明，从而得证.
【详解】（1）函数的定义域为．
又，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
即的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，，注意到，
又，
当时，所以在上单调递增，则当时，
即对，恒成立，不符合题意；
当时，则当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，在上单调递减，则当时，符合题意；
当，即时，在上单调递增，则当时，不符合题意；
综上可得实数的取值范围为；
（3）因为，其中，
则，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
2．已知函数．
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设、是两个不相等的实数，且．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知，，然后利用导数分析函数的单调性，求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）由已知可得，构造函数，可知存在不相等的两个实数、，使得，分析函数的单调性，设，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出在区间上恒成立，由已知条件得出，再结合函数的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）当时，，
因为，所以，即，不符合题意；
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，由恒成立可知，所以．
又因为，所以的取值范围为．
（2）因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数、，使得．
由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则，设，
则，
所以在上单调递增，所以，
即在区间上恒成立．
因为，所以．
因为，所以．
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
学后测评
1．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)在R上单调递增；
(2)（i）；证明见解析.
【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间；
（2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明.
【详解】（1）当时，，
则，当且仅当时取等号.
故此时在R上单调递增；
（2）（i）因存在两个极值点，
则.
令，则方程有两个相异正根.
注意到，因其有两个相异正根，
则；
（ii）证明：由（i）可得，
设，结合，则.
则
，
则要证，.即证，其中.
令，则.
令，则，
则在上单调递增，得.
则，得在上单调递增，
则当时，即.
【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系.
2．已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间；
（2）转化为，，进而可得a的取值范围.
【详解】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
3．已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；
(2)证明见解析
【分析】（1）二次求导，利用导数分析函数的单调性；
（2）设，，分析可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求证即可.
【详解】（1）由，，得，
设，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
所以的单调递增区间为，无递减区间.
（2）证明：不妨设，因为，
又，
所以，
设，则
.
设，，
因为，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，即.
4．已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
【答案】(1)；
(2)时，单调递减区间为，单调递增区间为;
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间；
（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
5．已知函数．
(1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
(2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围；
（2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解.
【详解】（1）函数在处有极值，
可得，解得，经检验，满足题意，
所以
当时，在单调递减；
当或时，在上单调递增，
可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为，
方程有3个不同的实根，等价为，
即有的取值范围是.
（2）在递减，可得时，，
，即为，
即
即为
即对任意且时恒成立.
所以在递减；在递增.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，
在上单调递增，即，则.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，
，当时等号成立，则，则.
综上可得的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解.
6．已知函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若函数有两个不同的零点m，n．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)-1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，根据单调性求出最大值即可.
（2）（ⅰ）求导，分和讨论单调性，结合有两个不同的零点，可得，继而可求解；
（ii）由题意可得，令，即，成立，令，利用导数分、及讨论单调性即可求解.
【详解】（1），,
由得，由得,
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
（2）（ⅰ）令，则．
当时，，单调递增，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；
当时，在上单调递减，
令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，则，
易知当且趋向于0时，；当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得．
所以的取值范围是.
（ii），，
由得，
即，
令，则只需，
即，．
令，
则，令，则．
因为，
当时，，则单调递减，，
从而单调递增，故，不符合要求；
当时，在单调递减，，
从而单调递增，故，不符合要求．
当时，，则单调递增，，
从而单调递减，故，符合要求．
综上所述．
【点睛】方法点睛：破解双变量不等式的方法：
①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；
②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值；
7．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围；
（3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小，再结合不等式的性质可得出与的大小关系.
【详解】（1）因为，则，所以，
所以在处的切线方程为，即.
（2）令，其中，则，
由，可得.
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；
当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，
故，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增，
先比较与的大小，即比较与的大小关系，
令，其中，所以，
故函数在上单调递增，
因为，所以，即，
即，故，
因为，故，所以，
故.
8．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后进行因式分解可得，令，解得或.根据两根大小分，和三种情况讨论，分别令可求得函数的单调递增区间，令可求得函数的单调递减区间；
（2）由（1）知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，进而可得，.由题可知，化简变形可得恒成立，∴.设，，对函数求导，研究其单调性求出最大值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，.
令，解得或.
当，令得或；令得，
∴函数在和上单调递增，在上单调递减；
当，恒成立，∴函数在上单调递增；
当，令得或；令得，
∴函数在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当，函数在上单调递增；
当，函数在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
∴.
又，，∴.
∴对任意，，.
∵对于任意，，都有恒成立，
∴恒成立，即恒成立，即恒成立，∴.
设，，则.
∵，，∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，函数取得最大值，
∴.
9．已知函数
(1)求在区间的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调区间与极值；
(3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析过程
(2)答案见解析过程
(3)
【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可；
（2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可；
（3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以，
在区间的最大值和最小值分别是；
（2）由，函数的定义域为全体正实数集，
当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，
该函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
（3）问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于
在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，则有，由（2）可知在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，
所以有；
当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为，
所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
10．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，若，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后分、及讨论即可得；
（2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解；
（3）法一：通过讨论的正负可得，，结合（2）中所得可得，则可得，再得到即可得证；法二：由题意可得，则可得，，又，则可得，计算可得，，即可得证.
【详解】（1），令，解得或，
若，则，则在上单调递增；
若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
（2）当时，由，得，即，
令，则，
令，则，故在上单调递增，
又，
则当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增；
所以，
所以，即的取值范围为.
（3）（证法一）当时，，因，
若，，则，，与矛盾，，，
由（2）可知，则，则，
所以，
又，
所以.
（证法二）当时，．由，得，
显然，不同时为负数，由可得，都为正数，
因为，
所以，所以，
又
，
所以.
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据方程根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可；
（2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数的解析式可知，
，
①若，则恒成立，在上单调递增，
②若，则由，得或；
由，得．
在上单调递减，在和上单调递增，
③若，则由，得；
由，得．
在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在和上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）是方程的两个根，，
，且，所以，
，
令，则．
在上单调递减，
，
的最小值为.
12．已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.
【答案】(1)有极大值，极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，求函数的极值；
（2）首先不等式变形为，再利用导数变形为，再转化为证明，证法1，不等式变形为，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明；证法2，不等式变形为，再利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可证明不等式.
【详解】（1）由题意，，，
所以当时，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，极小值.
（2）由题意，，，
要证，只需证，
而，
，
所以只需证，
即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证，只需证，
即证，令，
则，所以在上单调递增，
显然，所以当时，，
因为，所以，即，
故.
证法2：要证，只需证，即证，
令，则，所以只需证当时，，即证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以成立，即，
故
【点睛】思路点睛：第二问的思路首先是变形不等式，根据不等式构造函数，利用函数的单调性，结合最值，即可证明.
13．设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程；
（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．
【详解】（1）的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．