新高考数学二轮复习压轴题提升训练专题04 三角函数与解三角形压轴题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习压轴题提升训练专题04 三角函数与解三角形压轴题（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 三角恒等变换核心公式与策略， 解三角形核心工具与选择策略， 三角形中的隐含条件与范围限制， 常见压轴题型与破题关键， 解题流程梳理等内容，欢迎下载使用。

压轴分析
高考数学中，三角函数与解三角形压轴题往往位于中后段，其难点不仅在于公式的熟练运用，更在于对几何条件、代数变形与函数性质的综合处理能力。真正的压轴难点在于将三角恒等变换、函数图像与性质、平面几何性质以及解三角形的多种工具（正余弦定理、面积公式等）融合贯通，考查学生在复杂条件与多变量情境下进行数学建模与逻辑推理的能力。命题人常通过给出含有多角关系、边角混合条件、三角形形状判断或存在性问题、以及涉及最值或范围的综合性情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破纯代数或纯几何的单一视角，实现“边角互化”、“形数结合”，并灵活选取变换、化简、构造、建系的策略。解题的关键在于建立“条件翻译—公式选择—模型求解”链：首先准确理解并翻译题目中的几何与代数条件，将其转化为关于角或边的等式与不等式；然后根据目标选择三角恒等变换（如和差化积、辅助角公式）或解三角形工具（如正弦定理、余弦定理）；最后结合三角形内角和为π、函数有界性、基本不等式等建立可解的数学模型。掌握“几何审视（识别三角形特有条件）→ 代数翻译（建立边角方程）→ 综合求解（结合函数、不等式或解析方法）”的思想路径，方能从复杂的边角关系与约束条件中，构建出严谨、清晰且计算可行的解题方案。
知识总结
1. 三角恒等变换核心公式与策略
2. 解三角形核心工具与选择策略
3. 三角形中的隐含条件与范围限制
4. 常见压轴题型与破题关键
5. 解题流程梳理
画图标注：无论题目是否附图，自己画图，标出所有已知边、角、特殊线。
条件翻译：将文字描述（如“最大边”、“最小角”）和几何关系转化为等式或不等式。
选择主线：
求值或证明：判断用“纯边化”还是“纯角化”更简洁。
求范围：选定自变量（常选一个角），建立目标函数，务必先确定自变量范围。
判断形状：统一为边或角后，因式分解观察。
执行计算：步步为营，活用和差化积、辅助角等工具化简。
检验与作答：检查结果是否满足三角形基本定理（如内角和、边的关系），如果是范围问题，检查端点情况。
典例精讲
【典例1】
（2025·浙江·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．方程的解集是
B．当时，恒有
C．函数的值域是
D．函数的零点个数不可能为3
会一题通一类
1．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是函数最小正周期为的充要条件；
B．的最大值是；
C．若在单调递增，则的取值范围是；
D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是.
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上有且仅有5个零点
【典例2】
（25-26高三上·山东德州·月考）（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ）

A．的图象关于点对称
B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
C．若在上有3个极值点，则m取值范围是
D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
会一题通一类
1．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
【典例3】
（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
会一题通一类
1．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ）
A．B．1C．D．2
2．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．10B．12C．14D．18
3．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．13B．11C．9D．7
【典例4】
（2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
会一题通一类
1．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．在区间内只有一个极值点
D．曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为
【典例5】
（2025·四川成都·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
会一题通一类
1．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东青岛·三模）若，，则（ ）
A．1B．C．D．0
3．（2025·河北沧州·一模）已知，则（ ）
A．B．C．6D．7
【典例6】
（2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
会一题通一类
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ．
2．（2025·河南·模拟预测）已知，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】
（2025·云南·一模）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
会一题通一类
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为 .
2．（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江台州·一模）在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8】
（2025·河南·三模）定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
会一题通一类
1．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．[3，5]D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
热点预测
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（2025·云南昆明·二模）已知函数，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则为单调函数B．若，则的图象关于对称
C．若存在最大值，则D．有个零点
3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（ ）
A．存在，使
B．存在，使
C．的最小值为
D．的最大值为
7．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）已知实数满足，则下列命题正确的是（ ）
A．若时，则
B．若，，则是的减函数
C．若，，则是的周期函数
D．若，，则是的偶函数
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知函数，，且，则（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数在上单调递减
C．曲线关于对称
D．函数与函数的最大值相等
9．（2025·浙江宁波·一模）已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·安徽·一模）（多选）已知正实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·河北·模拟预测）（多选）在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若为等腰三角形，则
C．当时，D．当时，
12．（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（ ）
A．B．
C．D．的周长为
模拟训练
一、单选题
13．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·四川广安·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．（24-25高一下·江苏南通·期中）密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
17．（2025·浙江·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．2D．
21．（25-26高三上·四川南充·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ）
A．2B．C．D．
22．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的体积为3，，，，则（ ）
A．3B．4C．D．
23．（2025·浙江·模拟预测）方程的所有正数解之和为（ ）
A．B．C．D．
24．（2025·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2025·广东肇庆·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
27．（2025·新疆·二模）已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
29．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
30．（2025·四川绵阳·模拟预测）在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为1
C．若，则
D．的面积最大值为
31．（2025·湖南·一模）在中，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．可以是钝角三角形
B．
C．若，则
D．
32．（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．的面积为B．BC边上的高为
C．的最小值为D．最大值为
33．（2025·福建泉州·模拟预测）在斜中，若，则（ ）
A．B．的最大值为
C．D．
34．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2025·浙江丽水·一模）在中，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值是
36．（2025·河南·一模）已知在中，，则（ ）
A．没有最大值B．没有最小值
C．的最大值为D．的最小值为
37．（2025·广东深圳·模拟预测）已知的外接圆半径为，则（ ）
A．B．C．的面积为6D．
38．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知曲线：，：，记变换①为：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换③为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.每一次变换后得到新的曲线，把上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线.（ ）
A．②-①-④B．①-②-④C．④-③-①D．④-①-③
39．（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
40．（2025·四川内江·一模）已知，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当时，在上的值域为
B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C．当时，的值域为
D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则
41．（2025·浙江金华·一模）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
42．（2025·广东佛山·一模）已知，，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）
A．当时，，命题成立
B．当时，，命题成立
C．
D．使得命题成立的有序数对恰有3组
三、填空题
43．（2025·江苏淮安·模拟预测）法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规则特征：任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．某种叠加音波的函数模型为，则函数的最大值为 ．
44．（2025·四川达州·一模）在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为 ．
变换目标
首选公式
关键点与常见变式
化简单角三角函数式
同角关系： sin⁡2α+cs⁡2α=1
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
注意齐次式的处理，如 sin⁡θ1+cs⁡θ=tanθ2
处理两角和差
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ
cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ
正向展开合并，或逆向构造特殊角（如 π3,π6）
处理 asinx+bcsx 型
辅助角公式：
asinx+bcsx=a2+b2sin(x+φ)
其中 tanφ=ba
关键：确定 φ 角所在象限（由 a,b 符号决定），影响单调区间、对称轴等性质
降幂或升幂
二倍角公式：
sin⁡2x=1−cs⁡2x2, cs⁡2x=1+cs⁡2x2
将高次幂化为一次，便于积分或求最值
和差化积与积化和差
sinA+sinB=2sinA+B2csA−B2
sinAcsB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
在解三角形中处理边角混合条件时常用，可简化方程
已知条件
首选定理/方法
公式与注意事项
两角及一边 (AAS, ASA)
正弦定理
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R
直接求其余边，再结合 A+B+C=π 求角
两边及夹角 (SAS)
余弦定理求第三边
c2=a2+b2−2abcsC
求边后再用正弦定理求角（注意可能有两解）
三边 (SSS)
余弦定理求角
csA=b2+c2−a22bc
先求最大边所对角，判断三角形形状
两边及一对角 (SSA)
正弦定理求另一角
sinB=bsin⁡Aa
特别注意：需判断解的情况（无解、一解、两解）
涉及面积或高
面积公式 + 正/余弦定理
S=12absinC=abc4R=p(p−a)(p−b)(p−c)
其中 p=a+b+c2 (海伦公式)
条件类型
数学表达
应用方向
内角和定理
A+B+C=π
消元：如求 sin(B+C)=sinA；或化三元为二元
锐角三角形
0