新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题09 数列小题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题09 数列小题（2份，原卷版+解析版），共7页。

考前百日冲刺目录
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc30595" 引领风向--最新模考新颖题（5题） PAGEREF _Tc30595 \h 1
\l "_Tc7189" 最新热点热搜题（5题） PAGEREF _Tc7189 \h 5
\l "_Tc6316" 最新高频经典题（5题） PAGEREF _Tc6316 \h 7
\l "_Tc30516" 最新高考真题回顾（5题） PAGEREF _Tc30516 \h 10
\l "_Tc25888" 最新模考基础练（5题） PAGEREF _Tc25888 \h 14
\l "_Tc11138" 最新模考能力练（5题） PAGEREF _Tc11138 \h 16
\l "_Tc25051" 最新模考压轴练（5题） PAGEREF _Tc25051 \h 19
引领风向--最新模考新颖题（5题）
【典例】1．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（ ）
A．4.5B．3C．3.5D．4
【答案】A
【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可.
【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列，
得到，，故，
若，则，解得，
可得，即，故A正确.
故选：A．
【典例】2．（2025·甘肃·二模）在数列的项和之间插入个构成新数列，则（ ）
A．13B．C．14D．
【答案】A
【分析】根据题意条件，求出新数列中不超过的数的个数，再分组计算.
【详解】在和之间插入个构成数列,
，
则数列中不超过的数的个数为，
当时，，当时，，
所以.
故选：A
【典例】3．（2025·福建三明·模拟预测）现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为，1；第2个矩形的相邻两边长分别为，2；第3个矩形的相邻两边长分别为，；…，第个矩形相邻两边长分别为1，．则这个矩形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和
【详解】第个矩形的相邻两边长分别为和（从到）
因此面积为：
总面积和为：
等比数列首项，公比，项数为
求和公式为：
代入得：
故选：
【典例】4．（2025·湖北鄂州·一模）（多选）设5个正实数组成公差大于0的等差数列，记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，则的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BC
【分析】结合等差数列，等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意知等差数列的5个正实数为，
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，即，符合题意；
若成等比数列，
则，解得，即，符合题意；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
若成等比数列，
则，解得，与题意不符；
综上，或，
故选：BC.
【典例】5．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（ ）
A．B．为最大项
C．D．数列，，的公差为64
【答案】AC
【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可．
【详解】设后三项的公差为，因为，则，，
由，得，
由前三项成等比数列，公比，所以，
结合，可得，
解得或，
当时，数列为；
当时，数列为；
对于A，当时，，故A正确；
对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，公差为16或，均不是64，故D错误．
故选：AC．
最新热点热搜题（5题）
【典例】6．（2025·湖北武汉·二模）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
由，得，则，所以.
故选：A
【典例】7．（2025·江苏·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．9C．D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件及等比数列通项公式求出，再由求和公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，显然，
由，即，
则，解得，
所以.
故选：A
【典例】8．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案.
【详解】数列中，满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，所以，
又由，则.
故选：B.
【典例】9．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．505D．1013
【答案】D
【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可.
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选：D
【典例】10．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列中，，
数列为等比数列，令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列；
反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.
故选：C
最新高频经典题（5题）
【典例】11．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0B．3C．6D．12
【答案】A
【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，
则，则.
故选：A.
【典例】12．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
【典例】13．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确.
【详解】对于A，由可得，
即，所以，因此A正确，
对于B，由可得，即，
显然不是定值，
因此数列不是等差数列，即B错误；
对于C，结合B分析由可知，
即数列是以为首项，公比为2的等比数列，
因此可得，所以，即C正确；
对于D，
，即D正确.
故选：ACD
【典例】14．（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列D．数列前100项和为
【答案】AD
【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD.
【详解】对于A，当时，可得，故A正确；
对于B，
当时，，
两式相减可得，所以，
当，适合上式，所以；
由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C，由可知，，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以，，
，
又，所以，
所以，，不构成等差数列，故C错误；
对于D，，
所以
，故D正确.
故选：AD.
【典例】15．（2026高三·全国·专题练习）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
【答案】/4.75
【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，可设，
则．
故答案为：
最新高考真题回顾（5题）
【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
【典例】17．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
【典例】18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
【典例】19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
【典例】20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
最新模考基础练（5题）
21．（2025·湖北武汉·二模）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，可求得，计算可求得的最小值.
【详解】令，因为，所以解得，
所以数列的前3项为负，从第4项起为正，
所以的最小值为.
故选：D.
22．（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求解.
【详解】因为是方程的两个根，
所以，
又因为在等比数列中，，
又因为是正项等比数列，所以，
所以，
故选:B.
23．（2025·浙江温州·二模）已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，将把分别表示出来，结合不等式的性质计算即可.
【详解】设，则，
得，
所以．
故选：B
24．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D.
【详解】由有，故A错误；
由，，所以，故C正确；
，故B错误；
由，故D错误.
故选：C.
25．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ）
A．10B．15C．30D．31
【答案】D
【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为，
又是与的等差中项，所以，即，
解得或（舍去），
所以由解得，
所以该数列的前5项和，
故选：D
最新模考能力练（5题）
26．（2026·河北·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式结合和等差中项性质，求得，由成等比数列，结合等比中项性质和等差数列性质求得和公差的关系，再联立方程求解公差.
【详解】设等差数列的公差为，，解得.
因为成等比数列，所以，即，
代入，可得，
即，解得或，因为公差不为0，所以，
故选：A.
27．（2026·湖北·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，且，
即，解得，
所以；
又因为是等差数列，且，
即，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
28．（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ）
A．9B．10C．9或10D．10或11
【答案】C
【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果.
【详解】由可得数列为等差数列，
又可得，因此；
所以公差满足，因此；
即，
又因为，所以当或时，取得最大为45.
故选：C
29．（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式.
【详解】设等比数列的公比为，由可得，解得，
设， ，
因为，所以，解得或.
当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去；
当时，，，满足，故满足题意.
所以．
故选：A
30．（25-26高三上·山西太原·月考）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据条件得出，可判断等差数列的增减性判断ABC选项；再利用等差数列的前项和公式和下标和性质判断D.
【详解】由题意可知，，，
则，故等差数列为递减数列，
故，，，故A正确，BC错误；
，故D错误.
故选：BCD
最新模考压轴练（5题）
31．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得到，通过累加得到，再通过分参得到，结合基本不等式求得最小值，即可求解.
【详解】因为，
所以，
即，所以当时，
，所以，也满足，
所以，，
所以恒成立，
即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以实数t的取值范围是，
故选：A
32．（2025·山西吕梁·模拟预测）（多选）已知正项数列满足为数列的前项和，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由可判断，对于B，由得到，即可判断，对于C，由和当时， 得到，即可；对于D，由，裂项相消求和即可.
【详解】对于A，由，得，
所以，即，递增数列，A正确；
对于B，由，
得，
即，又，
则，
所以，B错误；
对于C，由于，当时，，
当时，，
当时，先证，即证，
由于，
所以，
即，
综上：，C正确，
对于D，由，得，
所以，D正确，
故选：ACD
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
【答案】AB
【分析】A.首先由正三角形求得点和的坐标，代入曲线，即可求解；B. 由为边长为的等边三角形，求得的坐标；C.将坐标代入曲线，判断C；D.根据C的结果，利用公式，即可求通项公式.
【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则，
因为点在曲线上，可得，解得或（舍），
又由题意可知为边长为的等边三角形，则，
则，可得，解得或（舍），故A正确；
B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确；
C.由点在曲线上，则，整理得，
由，可知，故C错误；
D.当时，可得，
所以，
可化为，
因为，则，所以，
又因为，符合上式，故，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为，
所以，故D错误.
故选：AB
34．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若数列为常数列，则或
C．若数列为递增数列，则
D．当时，
【答案】ABD
【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D.
【详解】对于A，当时，，
令，则，，故，
即，故A正确；
对于B，若数列为常数列，令，则，解得或，
或，故B正确；
对于C，令，则，
若数列为递增数列，则数列为递增数列，
则，解得或，
当时，，且，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列；
当时，，且，
，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列；
当时，，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列.
综上所述，当或，即或时，数列为递增数列，故C错误；
对于D，令，则，，
则，，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
，即，故D正确.
故选：ABD.
35．（2025·云南·模拟预测）数列满足：，且，则 .
【答案】1220
【分析】首先将条件平方，再由递推公式推出数列是等差数列，再相加求和.
【详解】由，所以，且，
两式相减得：，
又由及，故是递增数列，，
所以，
当时，，解得，又，即，
所以数列是等差数列，首项为，公差为，
所以，
故
.
故答案为：.