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新高考数学二轮复习 小题综合练专题08 数列（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习 小题综合练专题08 数列（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习小题综合练专题08数列原卷版doc、新高考数学二轮复习小题综合练专题08数列解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然，接下去 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，C错误，D正确，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， B错误；
故选：D.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】判断出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，进而判断出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，从而求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【详解】依题意，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．（2023·浙江·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故充分性成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故必要性成立，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分必要条件，
故选：C.
6．（2023·浙江·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 成等比数列列方程，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再计算 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，由已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差中项法可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故选：C.
8．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 SKIPIF 1 < 0 为图中虚线上的数 SKIPIF 1 < 0 构成的数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1275B．1276C．1270D．1280
【答案】A
【分析】根据题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可得 SKIPIF 1 < 0 ；根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法计算化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】显然，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、多选题
11．（2023·浙江·高三专题练习）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 是奇数㩆乘以3再加1，如果 SKIPIF 1 < 0 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 SKIPIF 1 < 0 ，各项均为正整数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是递增数列
【答案】ACD
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，结合条件求出 SKIPIF 1 < 0 可判断A，求出 SKIPIF 1 < 0 可判断B；由数学归纳法可证明C；据 SKIPIF 1 < 0 与零的关系，判断数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增可判断D.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，由A选项知： SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 ．
假设 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因此对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数．
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以归纳可得，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）定义：若数列 SKIPIF 1 < 0 满足，存在实数M，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称M是数列 SKIPIF 1 < 0 的一个上界．现已知 SKIPIF 1 < 0 为正项递增数列， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界
B．若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 可能不存在最小的上界
C．若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】AB选项，由 SKIPIF 1 < 0 有上界判断；C.根据 SKIPIF 1 < 0 无上界，且为正项递增数列，可得 SKIPIF 1 < 0 判断；D.用反证法判断.
【详解】A.若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界，故正确；
B.若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界，故错误；
C.若 SKIPIF 1 < 0 无上界，又 SKIPIF 1 < 0 为正项递增数列，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
D.假设对任意 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
与假设矛盾，故假设不成立，
所以若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
故选：ACD
13．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 SKIPIF 1 < 0 ､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式 SKIPIF 1 < 0 .则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： SKIPIF 1 < 0 ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为二阶等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 的前11项和最大
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 前6项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 前5项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，显然数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，由题中定义可知数列 SKIPIF 1 < 0 为二阶等差数列，因此选项A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；
SKIPIF 1 < 0 因此选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，因此选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.
14．（2023·浙江·统考二模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】根据递推公式找出 SKIPIF 1 < 0 与公差d的关系，再将选项中对应项或者前n项和全部用 SKIPIF 1 < 0 表示，构造成一个关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，根据函数对应导数单调性找出最值，或者代入特殊值验证选项对错.
【详解】根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）本题B、D选项求取值范围，常用方式为构造函数求出最值确定范围；
（2）本题A、C选项为判断结论是否正确，最简单的判断方式为适当举出反例，当然数学基础好的同学可通过构造函数利用极限思想进行判断.
15．（2023·浙江·高三专题练习）定义：若存在正实数M使 SKIPIF 1 < 0 ，则称正数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ，求导后放缩为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，即可判断；对于B，由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而可判断.
【详解】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列，C正确；
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于A，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，而对于C，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，从而可利用裂项相消法求和.
16．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正整数，且其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．存在公比为2的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B，设首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于C，欲使得 SKIPIF 1 < 0 尽可能地大，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
比如， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理.
17．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】A选项，先构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，并研究其单调性，利用 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，利用数学归纳法可证明；
B选项，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，判断其单调性即可；
C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；
D选项，结合C选项结论对 SKIPIF 1 < 0 进行放缩即可证明.
【详解】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
用数学归纳法下证 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ；
假设当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知， SKIPIF 1 < 0 .
对于A，令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，故A正确.
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 >0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于C，可用数学归纳法证明： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 成立；
假设当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
与假设 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：
（1）可以利用数学归纳法来进行证明；
（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.
三、填空题
18．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】32
【分析】由递推公式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，再求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：32．
19．（2023·浙江·二模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
等式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
20．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】502
【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：502.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义：对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，成立，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 摆动数列”， SKIPIF 1 < 0 称为数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值.若 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值为0，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据“ SKIPIF 1 < 0 摆动数列”的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶即可求解.
【详解】由数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值为0知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，其中第一项是 SKIPIF 1 < 0 ，接下来的两项是 SKIPIF 1 < 0 ，再接下来的三项是 SKIPIF 1 < 0 ，依此类推.将该数列前 SKIPIF 1 < 0 项的和记为 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 的值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列求和公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可确定 SKIPIF 1 < 0 ，由此可推导得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得结果.
【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为 SKIPIF 1 < 0 ，即第一组： SKIPIF 1 < 0 ；第二组： SKIPIF 1 < 0 ；第三组： SKIPIF 1 < 0 ；依此类推；
将各组数据之和记为数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 对应 SKIPIF 1 < 0 中项数为 SKIPIF 1 < 0 项，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·浙江金华·统考模拟预测）数学王子高斯在小时候计算 SKIPIF 1 < 0 时，他是这样计算的： SKIPIF 1 < 0 ，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据抽象函数的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.（结果保留成整数）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ,从而可推出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 ，根据分组求和及等比数列的求和公式可得答案.
【详解】因为每年存栏数的增长率为10%，每年年底卖出100头，
故可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以200为首项，1.1为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，则公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据给定条件，确定 SKIPIF 1 < 0 恒成立，再分析判断 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知等式求解作答.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列矛盾，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然，接下去 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的周期数列，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，C错误，D正确，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， B错误；
故选：D.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】判断出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，进而判断出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，从而求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【详解】依题意，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．（2023·浙江·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故充分性成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故必要性成立，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分必要条件，
故选：C.
6．（2023·浙江·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 成等比数列列方程，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再计算 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，由已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差中项法可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故选：C.
8．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 SKIPIF 1 < 0 为图中虚线上的数 SKIPIF 1 < 0 构成的数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1275B．1276C．1270D．1280
【答案】A
【分析】根据题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可得 SKIPIF 1 < 0 ；根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法计算化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】显然，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、多选题
11．（2023·浙江·高三专题练习）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 是奇数㩆乘以3再加1，如果 SKIPIF 1 < 0 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 SKIPIF 1 < 0 ，各项均为正整数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是递增数列
【答案】ACD
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，结合条件求出 SKIPIF 1 < 0 可判断A，求出 SKIPIF 1 < 0 可判断B；由数学归纳法可证明C；据 SKIPIF 1 < 0 与零的关系，判断数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增可判断D.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，由A选项知： SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 ．
假设 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因此对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数．
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以归纳可得，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）定义：若数列 SKIPIF 1 < 0 满足，存在实数M，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称M是数列 SKIPIF 1 < 0 的一个上界．现已知 SKIPIF 1 < 0 为正项递增数列， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界
B．若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 可能不存在最小的上界
C．若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】AB选项，由 SKIPIF 1 < 0 有上界判断；C.根据 SKIPIF 1 < 0 无上界，且为正项递增数列，可得 SKIPIF 1 < 0 判断；D.用反证法判断.
【详解】A.若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界，故正确；
B.若 SKIPIF 1 < 0 有上界，则 SKIPIF 1 < 0 一定存在最小的上界，故错误；
C.若 SKIPIF 1 < 0 无上界，又 SKIPIF 1 < 0 为正项递增数列，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
D.假设对任意 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
与假设矛盾，故假设不成立，
所以若 SKIPIF 1 < 0 无上界，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
故选：ACD
13．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 SKIPIF 1 < 0 ､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式 SKIPIF 1 < 0 .则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： SKIPIF 1 < 0 ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为二阶等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 的前11项和最大
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 前6项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 前5项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，显然数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，由题中定义可知数列 SKIPIF 1 < 0 为二阶等差数列，因此选项A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；
SKIPIF 1 < 0 因此选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，因此选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.
14．（2023·浙江·统考二模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】根据递推公式找出 SKIPIF 1 < 0 与公差d的关系，再将选项中对应项或者前n项和全部用 SKIPIF 1 < 0 表示，构造成一个关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，根据函数对应导数单调性找出最值，或者代入特殊值验证选项对错.
【详解】根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）本题B、D选项求取值范围，常用方式为构造函数求出最值确定范围；
（2）本题A、C选项为判断结论是否正确，最简单的判断方式为适当举出反例，当然数学基础好的同学可通过构造函数利用极限思想进行判断.
15．（2023·浙江·高三专题练习）定义：若存在正实数M使 SKIPIF 1 < 0 ，则称正数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ，求导后放缩为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，即可判断；对于B，由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而可判断.
【详解】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为有界正数列，C正确；
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于A，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，而对于C，借助不等式 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，从而可利用裂项相消法求和.
16．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正整数，且其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．存在公比为2的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B，设首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于C，欲使得 SKIPIF 1 < 0 尽可能地大，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
比如， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理.
17．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】A选项，先构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，并研究其单调性，利用 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，利用数学归纳法可证明；
B选项，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，判断其单调性即可；
C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；
D选项，结合C选项结论对 SKIPIF 1 < 0 进行放缩即可证明.
【详解】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
用数学归纳法下证 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ；
假设当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知， SKIPIF 1 < 0 .
对于A，令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，故A正确.
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 >0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于C，可用数学归纳法证明： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 成立；
假设当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
与假设 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：
（1）可以利用数学归纳法来进行证明；
（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.
三、填空题
18．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】32
【分析】由递推公式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，再求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：32．
19．（2023·浙江·二模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
等式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
20．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】502
【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：502.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义：对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，成立，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 摆动数列”， SKIPIF 1 < 0 称为数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值.若 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值为0，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据“ SKIPIF 1 < 0 摆动数列”的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶即可求解.
【详解】由数列 SKIPIF 1 < 0 的摆动值为0知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，其中第一项是 SKIPIF 1 < 0 ，接下来的两项是 SKIPIF 1 < 0 ，再接下来的三项是 SKIPIF 1 < 0 ，依此类推.将该数列前 SKIPIF 1 < 0 项的和记为 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 的值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列求和公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可确定 SKIPIF 1 < 0 ，由此可推导得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得结果.
【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为 SKIPIF 1 < 0 ，即第一组： SKIPIF 1 < 0 ；第二组： SKIPIF 1 < 0 ；第三组： SKIPIF 1 < 0 ；依此类推；
将各组数据之和记为数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 对应 SKIPIF 1 < 0 中项数为 SKIPIF 1 < 0 项，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·浙江金华·统考模拟预测）数学王子高斯在小时候计算 SKIPIF 1 < 0 时，他是这样计算的： SKIPIF 1 < 0 ，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据抽象函数的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.（结果保留成整数）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ,从而可推出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 ，根据分组求和及等比数列的求和公式可得答案.
【详解】因为每年存栏数的增长率为10%，每年年底卖出100头，
故可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以200为首项，1.1为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，则公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据给定条件，确定 SKIPIF 1 < 0 恒成立，再分析判断 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知等式求解作答.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列矛盾，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
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