新高考数学三轮冲刺小题巩固练习考点07 数列综合（2份，原卷版+解析版）

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数列综合在近10 年全国卷及省市自主命题中共考查139 次,其中全国卷考查26次。选择题和填空题中的中档题:较难题=3:5,属于中档及以上难度
结合试题的考查频次及高考评价体系解读中的创新性要求,2023 年仍然会持续考查,但情境设置可能会发生变化。
1．（2023·江西上饶·统考一模）设等差数列前项和为，若，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质可求得，即可求得答案
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，故，
由可得，故，
所以，所以
故选：C
2．（2020·全国·统考高考真题）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
3．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
5．（2020·全国·统考高考真题）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
6．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
7．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
8．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
9．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

10．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
11．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
12．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（ ）
A．2023B．2021C．1011D．1013
【答案】D
【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差求出通项，判断为等差数列，即可求解.
【详解】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
当时，，即，也适合，
综上，，
因为
所以是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以，所以.
故选：D.
13．（2023·河南·校联考模拟预测）任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列（为正整数），，若，则的所有可能取值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列举出的可能情况，可得出的所有可能取值，相加即可得解.
【详解】由题意，的可能情况有：
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为.
故选：B.
14．（2023·山东日照·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式得出，然后根据等差数列的性质进项求解即可得出结果.
【详解】数列满足，，
当时，，解得：；
当时，，
因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，，
若存在正整数，使得，，成等差数列，
则，所以 ①
因为数列是单调递减数列，
当时，由，解得：，舍去；
当时，则，；
当时，，，所以，①式不成立，
所以，则有，解得：，
故选：.
15．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，由，，列方程求出，进而可求出，结合指数函数的性质求出的最大、小值，列不等式组即可求出的取值范围
【详解】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
当x为正整数且奇数时，函数单调递减，
当x为正整数且偶数时，函数单调递增，
所以时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得.
故选：B.
16．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．14小时C．17小时D．20小时
【答案】C
【分析】运用等差数列、等比数列的通项公式计算即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.
设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，解得，
所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.
故选：C.
17．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．在，，，这4个数列中，局部等比数列的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据局部等比数列的定义逐项进行检验即可求解.
【详解】若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
所以局部等比数列的个数是，
故选：.
18．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【分析】由可知数列为等比数列，将公比代入可求出的值，从而求出数列的首项，当且前项的积为正时最大，从而求出结果.
【详解】易知，因为，，所以，，
将其代入，得，所以，
即数列是以128为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.
故选：B．
19．（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
20．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
21．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．
【答案】6
【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解
【详解】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6
22．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
23．（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
【答案】
【分析】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．
【详解】因为，所以．
即．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
24．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
25．（2020·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
26．（2020·全国·统考高考真题）数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
27．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列中，，，，记数列前项和为，则__________．
【答案】
【分析】由题意可得出该数列奇数项是以，公比为的等比数列，偶数项是以，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式即可得出答案.
【详解】因为，
所以，令，则，所以，
则该数列奇数项是以，公比为的等比数列，
偶数项是以，公比为的等比数列，
.
故答案为：.