新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章05 数列解答题题型全归纳（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章05 数列解答题题型全归纳（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 裂项求和：基础型（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 裂项求和：根式型（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 7
\l "_Tc26803" 题型三 裂项求和：指数函数型（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 9
\l "_Tc13512" 题型四 裂项求和：等差裂和型（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 11
\l "_Tc3897" 题型五 分组、并项求和（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 14
\l "_Tc326" 题型六 错位相减求和（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 18
\l "_Tc11957" 题型七 倒序相加求和（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 21
\l "_Tc17557" 题型八 含奇偶项问题（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 24
\l "_Tc28054" 题型九 数列中的增、减项及交、并项问题（★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 30
\l "_Tc8991" 题型十 数列与不等式（★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 38
\l "_Tc24465" 题型十一 数列新定义（★★★★★） PAGEREF _Tc24465 \h 45
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 52
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 52
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 72
1、求Sn的常用方法
（1）公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求Sn..
（等差Sn=na1+nn−12d=na1+an2，等比）
（2）裂项相消法
①等差型裂项an=，an=，
an=，an=
②根式型裂项an=，an=，
an=
③指对数型裂项an=，
（3）错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn）
已知数列an为等差，数列bn为等比，数列an∙bn的前n项和为Sn，求Sn.
（4）分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn）
已知数列an为等差，数列bn为等比，数列an+bn的前n项和为Sn，求Sn.
（5）并项求和法（通项公式形如−1n×等差，求Sn）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
一般分两步： = 1 \* GB3 ①找通项公式 = 2 \* GB3 ②由通项公式确定如何分组.
还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘了看看，或许会有所发现
例：已知，可推出Sn=3n2，n为偶−3n+12，n为奇
（6）倒序相加法
例：已知函数，若公比为等比数列满足，，
可推出1010


题型一 裂项求和：基础型
【技巧通法·提分快招】
1．已知数列的前n项和为，，且数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据和的关系求解即可；
（2）先根据裂项相消法求得，进而结合数列的性质求证即可.
【详解】（1）由，得，
当时，，
因为时，满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：，
所以
，
因为，所以，所以，
又因为随着增大而减小，所以随着增大而增大，
所以数列为递增数列，所以，
所以.
2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式：
(2)若，，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用关系求通项公式即可；
（2）应用裂项相消法求.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，则；
（2）由（1）可知，则，
所以
.
3．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式得到，再通过同除得到，即可求证；
（2）由（1）求得，即可求解；
（3）通过裂项相消求和即可求证；
【详解】（1）证明：因为，
所以，则，
即，
所以是以为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）知，所以．
（3）证明：因为．
所以
，
因为，所以．
4．在数列中，，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式;
（2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可.
【详解】（1）因为，
所以
（2）因为，
所以.
5．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的定义证明出数列为等差数列；
（2）先得出的通项公式，再利用裂项相消法进行求解．
【详解】（1）
，
令，则为首项为1，公差为1的等差数列
即；
；
（2）
由累加法，得：．

题型二 裂项求和：根式型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列的通项公式，根据列项求和法求出的值.
【详解】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，
所以，，
当时，有，
所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
2．记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和的关系式，消去得到的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可；
（2）根据（1）的结论和的关系式，利用裂项相消法求出的表达式，结合数列增减性即可证明.
【详解】（1）因为①，
当时，，解得．
当时，②，
由 ①－②得，
即，所以．
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，所以．
（2）由（1）可知，
从而，
因为，单调递增，则．

题型三 裂项求和：指数函数型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由于数列满足，且．可得，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由，得到，利用“裂项求和”即可得出．
【详解】（1）由，变形可得
因为，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，
故，即.
（2）因为，由（1）知，
所以，
故
2．（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以
．
3．已知正项数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，两式相减得，结合得出数列的定义，即可证得数列为等差数列；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解；
（3）由（1）得，求得，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
两式相减得，
因为，所以，所以，
又因为，令，可得，解得或（舍去），
则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，数列的通项公式为，则，
可得，
则，
两式相减得，
所以，即数列的前n项和.
（3）解：由（1）知，所以，
则，
所以．

题型四 裂项求和：等差裂和型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
2．已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证.
（2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解.
【详解】（1）依题意，，当时，得，则，
由，得，则，即，
当时，，于是，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以
.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公差，进而求得通项公式.
（2）由（1）的结论，按奇偶分类，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由，，成等比数列，得，而，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.

题型五 分组、并项求和
【技巧通法·提分快招】
1．已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）应用关系及等差数列的定义判断证明即可；
（2）由（1）得，进而有，应用分组求和、等差数列前n项和公式求.
【详解】（1）当时，有，解得或（舍），
当时，由，知，
两式相减得，
即，即，
又，所以，
所以是首项为3，公差为1的等差数列；
（2）由（1）知，
所以，即，
因为
.
2．数列中，，满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；
（2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解.
【详解】（1）由，得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得（，.
所以
.
3．已知数列的首项为1，前n项和为，数列满足，且是等差数列．
(1)若为等差数列，且，求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由等差数列前n项和公式求得，进而得，根据已知关系式得，设，代入关系式求参数，即可得；
（2）设，同（1）方法求参数值，得，再应用分组求和、等差数列前n项和公式求.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，
所以，则，
所以，即，
又是等差数列，设，
则，，
所以，
整理得，解得，，故；
（2）因为是等差数列，设，则，
故由，可得，
整理得，则,
解得，，故,
所以
.
4．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，所以，即，即
又因为成等比数列，所以，即，即，
联立方程组，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，即，
可得，
，
所以，所以数列的前2n项的和为．
5．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．

题型六 错位相减求和
【技巧通法·提分快招】
1．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式；
（2），利用错位相减法求和，得到答案.
【详解】（1）由题意知，
解得或，
当时，，，故，；
当时，，，故，
，
所以或；
（2）因为，所以.
因为，
所以，
两式相减得
，
故.
2．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的满足，.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列，前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造数列，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数列的通项公式.
（2）利用“错位相减求和法”可求数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以.
（2）因为，
所以，
故，
两式相减得：，
所以.
3．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和，再由分离出，证明恒成立即得证．
【详解】（1）由得
又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）的结论有
①
②
①②得：
因为，所以恒成立
.

题型七 倒序相加求和
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值；
（2）由于，可得，即，倒序相加可得.
【详解】（1）证明：由于函数，
则，
所以.
（2）由（1）可知，，
则，其中为正整数，，
即，且，
所以，其中为正整数，，
且，
，①
变化前项顺序后，可得：，②
①②得：，
因此.
2．已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.
（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由数列满足，
则.
（3）由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
3．已知函数，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式；
（2）应用裂项相消计算即可证明.
【详解】（1）因为，
所以．
当时，，
所以，
所以，即当时，．
又当时，，所以数列的通项公式为．
（2），
所以．
所以．

题型八 含奇偶项问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·云南·月考）已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先求首项，进而得；
（2）由（1）先求，进而得，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有，又因为，，成等比数列，
所以，即，
化简整理得，解得，所以；
（2）由（1）有，所以，
所以
.
2．已知数列满足．记（）．
(1)计算，并证明数列为等比数列；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得，则，进而可得即可证.
【详解】（1）由题设，
，
，且，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，则，
．
.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）先根据已知条件推出与的关系，结合，确定是等比数列，进而求出的通项公式. 再根据与的关系，分为偶数和奇数两种情况求出的通项公式.
（2）由（1）结果得到的表达式. 采用错位相减法求，先写出和的表达式，然后两式相减，通过等比数列求和公式化简得出.
【详解】（1）因为
，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以当为偶数时，；
当为奇数且时，
，也符合上式．
综上所述，
（2）由（1）可知，，
则，
所以，
两式相减得
，
故．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式.
（2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得.
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
5．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求时的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由题意通过构造可得，从而可求解.
（2）结合（1）可得，从而可得，再分情况讨论为奇偶时，再结合分组并项，从而可求解.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）可得，
所以，
当为偶数时：
；
当为奇数且时：
.
当时，，满足该前项和公式，
所以
当为奇数时，恒成立，故时为偶数，
所以有，即，当时，，
当时，，
故的最小值为4.
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解.
【详解】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以

题型九 数列中的增、减项及交、并项问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；
（2）利用等差数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
3．已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到；
（2）根据题意得到数列，再利用公式求和即可.
【详解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以.
依题意，，，
解得，所以.
（2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…，
所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，
所以，
则.
4．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助与的关系计算可得，再利用等比数列定义计算即可得；
（2）由题意可得，数列的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解.
【详解】（1）由，得，
则，即，
又，满足，所以，
所以是首项是，公比为的等比数列，故；
（2）由题知，数列的其余项为1，
则
.
5．已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)11302
【分析】（1）利用等差数列基本量运算求得，再由的和式采用作差法求得并验证即得通项；
（2）由，列出数列的前8项，求出他们对应的数列中的相同项，确定为的前107项的和减去的前7项的和.
【详解】（1）设正项等差数列的公差为，
因为，，所以，解得：
所以.
数列满足
设，
当时，有，即，
当时，有，得
符合，所以
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，
对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列
设数列的前项和为，所以
.
6．（24-25高三下·江苏常州·月考）已知和分别为正项等比和等差数列，且．
(1)求的前n项和．
(2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及．
【答案】(1)；
(2)，，.
【分析】（1）应用等差、等比的通项公式求公差、公比，进而写出通项公式，再应用分组求和、等差、等比前n项和公式求和.
（2）令且，确定、去除项对应的n，进而确定和的通项公式，再确定的对应项即可得.
【详解】（1）由，则正项等比数列的公比，故，
由，则正项等差数列的公差，故，
所以，其前n项和.
（2）令且，则，
所以满足条件的数对有，
对于数列去除项的对应值为，是首项为3，公差为2的等差数列，则，
对于数列去除项的对应值为，则，
由上分析，若两个数列最后一项为，
则数列前11项与前项有5项公共项，去除后共有项，
若两个数列最后一项为，则前13项与前项有6项公共项，
去除后共有项，
显然，故对应为的第项，
所以.
7．已知数列的各项均为正数，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由．
(3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)4139166
【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断；
（3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为的各项均为正数，，且，
则，可得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
（2）不存在，理由如下：
由（1）可得：，
则，
令，即，解得，
且，可得，
可知数列的最大项为，
所以不存在正整数m，使得成立.
（3）由（2）可得：，其前n项和为；
由题意可知：，其前n项和为；
因为，，
且，
对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，
所以.
8．已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出，然后代入等差数列的通项公式即可；
（2）令，得，然后分类讨论求和即可得；
（3）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可
【详解】（1）设首项为，公差为d，因，
则
解得或（舍）.
则；
（2）由时，令，
当时，，
则此时；
当时，，
则
综上，
（3）由题意得，，
因为，所以，即，
因此，
所以.

题型十 数列与不等式
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式；
（2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断.
【详解】（1）当时，，
当时，.
又注意到，符合上式，则；
（2）即判断是否成立，由（1）可得，，
则
，则当时，；时，.
则在时，取最大值，则，因，
则不存在正整数m，使得成立.
2．已知数列满足．记（）．
(1)计算，并证明数列为等比数列；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得，则，进而可得即可证.
【详解】（1）由题设，
，
，且，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，则，
．
.
3．已知在正项数列中，，其前项和满足．
(1)求与；
(2)令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有．
【答案】(1)；．
(2)证明见解析
【分析】（1）应用十字相乘法分解因式计算得出，再应用计算求解；
（2）应用放缩法结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）由，得．
由于是正项数列，，所以．
当时，，
所以，．
又，，则，
，所以，
综上，数列的通项，
当时，，
当时，合适上式，
所以，．
（2）由于，由（1）得，
则当，，，时，有，
所以，当时，
．
又时，，
所以，对于任意的，都有．
4．已知，，是等差数列，且．
(1)求，；
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出.
（2）利用导数证明不等式，进而证得，由（1）求出并放缩裂项求出即可得证.
【详解】（1）由，得，等差数列的公差，则，
当时，，于是，满足上式，
所以.
（2）令函数，求导得，在上单调递增，
，即，取，则，
于是，由（1）知，，
所以.
5．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式及；
(2)记，，当时，比较与的大小；
(3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)实数存在，最大值为
【分析】（1）根据，，成等比数列，利用等比中项可求出等差数列的公差，从而求的通项公式及；
（2）由（1），结合裂项相消法可求得，根据可得为等比数列，利用等比数列的前项和公式求，从而比较与的大小.
（3）由题意可得，结合基本不等式求得最小值即可.
【详解】（1）设公差为，由，，成等比数列得，即，
求得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）知，，，则，
，
，
因为当时，，即，所以．
（3）要使恒成立，
只需恒成立，即，
因为，又因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以时，对任意的正整数，，不等式都成立，
即实数存在，最大值为．
6．已知数列中，，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，数列的前项和为．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列；
（2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列；
（2）（i）由（1）可知，
所以，，
因为，
因为，，所以，所以，
所以，的取值范围；
（ii）因为，又因为，
所以
设.
当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大，
因为，所以，所以，
即.
7．已知数列和满足，且．
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)若，求证：数列是等差数列；
(3)若，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可；
（2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可；
（3）根据题干联立可知，所以得到，然后简单判断可知结果.
【详解】（1）当时，，
所以的通项公式为．
（2）证明：因为，所以，
则，
两式相减，得，
所以，即，又当时，，
所以，
所以是以1为首项，6为公差的等差数列，即．
（3）证明：因为，所以，
又，，所以，，
所以，则，
所以，
所以，所以，
解得，故．

题型十一 数列新定义
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；
（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解.
【详解】（1）因，则，
故，
是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”.
（2）由题意是“一阶等差数列”，
又首项为1，公差为3，故，
则
，
又满足上式，故.
则 “二阶等差数列”的通项公式为.
2．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足．
(1)写出数列的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列是周期为8的周期数列；
（ii）求的个位数字．
参考数据：．
【答案】(1)．
(2)（i）证明见解析；（ii）4
【分析】（1）写出斐波那契数列的第三、第四、第五项，再根据的定义求解即可；
（2）（i）只需证明即可，根据题意，易求得，进而可化简；（ii）先求出数列的周期，再根据题意进行化简即可.
【详解】（1）由递推关系得，
所以．
（2）（i）由题中给的性质，可得，
因为，
所以，
所以，
所以数列是周期为8的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列的周期，
由参考数据，猜想数列的周期为60，证明如下：
因为，又由参考数据易得，
所以，
所以数列是周期为60的周期数列．
因为，
所以，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以，
，
所以，
所以的个位数字为4．
3．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可；
（2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得；
（3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解.
【详解】（1）由题意，，，.
（2），所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即；
设，则，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（3）要求，
只需求，
又，
所以
，
所以，所以.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T.
(1)若，写出所有具有性质T的数列A；
(2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由数列新定义可得；
（2）由数列新定义证明即可；
（3）结合数列新定义，假设，分，，三种情况讨论数列的个数，再结合等比数列的性质可证明.
【详解】（1）所有具有性质的数列有
（2）证明：因为数列具有性质，所以对任意都有
所以即
由的任意性可得，是的单调递增排列，
所以数列即为，此时，
所以对任意的，都有所以数列具有性质.
（3）（i）假设，
由已知，所以，
又因为，所以，
依此类推，若，则
①若，则满足条件的数列为，只有一个；
②若，则，所以，
此时满足条件的数列为，只有一个；
③若，只要是的满足条件的一个数列，就可以相应得到满足条件的一个数列，
此时满足条件的数列有个 .
（ii）假设，只要是的满足条件的排列，此时满足条件的数列有个.
综上，，
又因为时，，
上面两式相减得，时，.
所以对任意，都有，所以数列是等比数列.
5．（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)具有，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“”的定义推理判断.
（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；
（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式推理得证.
【详解】（1）数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）函数，令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得，利用递推关系可求得；
（2）利用累加法可求得通项公式；
（3）利用裂项相消法可求.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以.
（2）由（1）可知，
则时，，
则.
当时，，适合上式，所以数殉的通项公式为；
（3）由（2）可得
则
.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，由题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2）分组求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则，
因为，，
所以，解得或（舍去）
所以，；
（2），
.
3．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证；
（2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解；
（3）利用错位相减法和分组求和即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当时，；
当时，，
所以，
即，
又，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得
所以．
（3）由（2）得，
记，①
则，②
由①－②得
所以，
所以．
4．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2），利用错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）设公差为，公比为，
，故，，
，故，
联立，解得或（舍去），
故，；
（2），设数列的前项和为，
则，①
，②
两式①-②得，
所以.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
(3).
【分析】（1）利用已知条件，通过代入和，结合正项数列的性质，逐步求解和.
（2）通过递推关系，将用和表示，代入原方程化简，证明的相邻项差为常数.
（3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程.
【详解】（1）由，
令，有，因为，所以.
令，有，即，由，解得.
所以，.
（2）当时，由，代入，
化简得，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.
由，
所以.
所以数列的前项的和.
6．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为3的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）根据裂项相消求和计算即可.
【详解】（1）由，
可得时，，
解得，
时，，又，
两式相减可得，
即有，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
（2）数列满足，
所以．
7．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解；
（2）利用韦达定理可直接得到；
（3）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，
由根与系数关系得，
于是有，则，
故，则；
（2）由（1）知，故，
由根与系数关系知；
（3）由（2）得，
所以
8．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式.
(2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和.
【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得
所以,
可知,
设等比数列的公比为,带入得,解得,
可知.
（2）有第一问可知,,则.
分组得
计算,
计算
则.
9．已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令求得；当时，由求解，再检验适合，即可得解；
（2）采用分组求和的方式，分为偶数和为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别求和.
【详解】（1）因为数列的前项和，，所以；
当时，，
又适合上式，所以；
（2），
所以数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，
.
综上，.
10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式；
（2）分为偶数、奇数两种情况讨论，当为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式.
【详解】（1）设数列的公差为，由，则，
即，解得，
所以．
（2）由可知，
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
综上所述，．
11．（2022·湖北十堰·三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可；
（2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和.
【详解】（1）因为①，
当时，②，
①②，得．
所以，当时，，满足上式，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，得，
则③，
④，
③④得 ，
所以．
12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式.
（2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得.
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
13．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题中和的关系仿写后作差再变形，再由等比数列的基本量法可得；
（2）由（1）得到等比数列的通项，再两边同除后运用累加法求出数列的通项，再采用列项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意，，
又，解得，
，①
，②
②减①得，
所以，即，
所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
当时，，
所以，即，
经检验，当时，满足上式，
所以，
因为，
所以
.
14．已知数列满足，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)2166
【分析】（1）利用等差数列的定义证明；
（2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和.
【详解】（1）数列满足，
设，则，
有，，
所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列.
（2）由（1）可知，，
设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，，
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
数列的前40项和为，
若，即，得，
，有，
将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为：
.
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.
(1)求和的通项公式和的前n项和；
(2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:.
【答案】(1)；；
(2)证明见详解
【分析】（1）设等比数列的公比为，由即可求出，进而得，令，由得即可求出，进而得，令，利用错位相减法即可求出；
（2）由，利用裂项相消法即可证明.
【详解】（1）设等比数列的公比为，首项，，
所以，，，
又因为，所以，
令，，又有，
则有
，
所以，
又因为数列的各项均为正数，所以，
令，
所以①，
②，
由①—②有：
，
（2）因为，
所以.
16．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
17．已知数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用累加法与等比数列前项和公式，即可求解.
（2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：；证法2：利用化简后放缩，证法3（等比放缩）：，从而可求解.
【详解】（1）由
累加可得．
故数列的通项公式为：.
（2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：
由（1）可得，
，
所以．
证法2：，
所以．
证法3（等比放缩）：由证法2得，
所以．
18．已知函数.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）将题设等价于对恒成立，从而利用导数工具求出即可得解；
（2）由（1）可得对恒成立，进而得，再结和累加法即可求证.
【详解】（1）若，则由题对恒成立，
因为，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
所以实数的取值范围为：.
（2）证明：由（1）可得对恒成立，且当且仅当时，
所以，即，
所以
.
19．已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
(1)求与的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列的通项公式；利用求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减求和求出，转化为恒成立，设，判断出的单调性可得答案.
【详解】（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由知，当时，由得，
由得，
当时，，
可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1），
，
，
两式相减得
，
所以，
则即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以的最大值为，
所以.
20．（24-25高三上·云南·月考）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”.
(1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由.
(2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式.
(3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)（）
(3)
【分析】（1）根据“等差比数列”定义计算求解；
（2）应用“等差比数列”定义，可判断为等差数列，故可求通项；
（3）应用等差数列前n项和公式计算求参即可.
【详解】（1）已知，则，.
所以数列是 “等差比数列”，.
（2）因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，.
所以，故，
整理得到：，故，
所以为常数列，故，
而，故即，故，
故，故为等差数列，其首项为，公差为，
故.
（3），由得，即对任意的成立.
因为的最小值为，所以，即实数的取值范围是.
21．（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列的前项和为 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列.
(i)判断数列是否为数列，并说明理由；
(ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列.
【答案】(1)；
(2)（i）是数列；（ii）证明见解析.
【分析】（1）变形得，再利用累乘法得，最后降次作差即可；
（2）（i）计算得，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可；
（ii）首先利用性质②：取，则得到即成等差数列，再利用性质①，取，得到数列中必然存在一项的值为．最后证明即可.
【详解】（1）由得，
即，
，
累乘得：，
，又符合式子，
所以，
当时，，
又符合上式，所以．
（2）（i）因为，
，所以具有性质①，
因为，
具有性质②．
数列是数列．
（ii）是单调递增数列．
首先利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
，故，
此时必有，即，
即成等差数列，不妨设．
利用性质①：取，
则，
即数列中必然存在一项的值为．
下面证明，
若，则由数列的单调性可知．
在性质②中，取，则，从而，则．
若，则，与假设矛盾；
若，则，与假设矛盾；
若，则，与数列的单调性矛盾．
故不存在满足题意的正整数，，可见不成立，从而，
同理可得为等差数列．

检测Ⅱ组 创新能力提升
一、解答题
1．已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)首先利用两边平方的方法将的指数化为整数，再利用递推关系消掉，再两边取对数进行化简，即可得到一个常数列，进而求解；
(2)令，分离常数化简数列的通项公式，再利用分组求和和放缩的方法去求数列的和，即可得证.
【详解】（1），，，
，即，
两边取常用对数得，则，
，且，
数列为常数数列，，.
（2）由(1)知，令，
，
又，
，
.
2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式以及 ；
(2)若 ，求
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由，结合可得答案；
（2）由（1）可得时，，然后当，时，可得，其中为小于的最大整数，据此可得当，其中时，可得，最后由分组求和可得答案.
【详解】（1），
则，因.则两式相减得：.
又各项均为正数，则.
又时，，
则是以1为首项，公差为2的等差数列，
则，；
（2）由（1）时，
则.
则，，
当，设，
注意到
，其中为小于的最大整数.
则当，其中时，
.
则当时，
.
又注意到时，.
则.
【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为已学习过数列的组合.
3．（24-25高三上·安徽·月考）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列；
（2）利用累乘法求得数列的通项公式；
（3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
【详解】（1）已知，
则.
又，，所以.
那么（常数）.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，等式两边同时除以得：.
设，则，且.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以.
因为，所以.
（3）已知，则.
.
所以.
假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以得：.
因为，，所以，，
则是的倍数，除以余，等式不成立.
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【点睛】方法点睛：
证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用.
当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧.
对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设.
4．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)627
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的基本量运算可得答案；
（2）设求出n为偶数，进而求出两数列的公共项通项公式，利用等比数列求和公式可得答案；
（3）利用错位相减法求出，结合单调性和恒成立可得答案.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，
解得，所以，.
（2）设，则，
，
因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数，
即，.
（3）因为，所以，
所以；
又，所以，
，
，
两式相减可得
.
，
.
因为，所以；
所以，
时，令，则，
即为递增数列，所以，解得，
故的最小值为.
5．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用分组求和法及裂项相消法计算可得；
（3）首先利用作差法证明（），从而得到（），利用放缩法证明即可.
【详解】（1）因为，即，
当时，，所以；
当时，，
所以，
而也满足上式，
；
（2）因为，，，
，
；
（3）由（1）可得，
因为
（），
所以（）
所以（），
【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出（）.
6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”.
(1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；
(2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值；
(3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由.
【答案】(1)数列1，2，5，13是，数列1，3，8，21不是
(2)6
(3)是，理由见解析
【分析】（1）依据倍增数列的定义对两个数列直接判断即可；
（2）根据题意判断出，从而，由及为整数即可求得；
（3）由将依次递推下去判断其大于0即可.
【详解】（1）①因为，所以，
所以数列1，2，5，13是“倍增数列”.
②因为，所以，
所以数列1，3，8，21不是“倍增数列”.
（2）因为数列是“倍增数列”，为整数，且，
所以，且为正整数，
所以，
即.
又因为，所以.
因为能整除，结合（*），可得，
所以，
所以正整数的最大值为6.
（3）是“倍增数列”.理由如下：
因为，所以
.
所以，即，
所以是“倍增数列”.
7．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．
（i）求数列的通项公式；
（ii）设数列满足求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式
（2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式；
（ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，
则解得
故.
（2）(ⅰ)，
，
所以，
即. 又，
则是首项为12，公比为的等比数列.
.
(ⅱ)当为奇数时，，
记，
则，
，
两式相减，得
，
化简，得，
得；
为偶数时，
记，
则
.
故
.
8．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求；
(3)若，记数列的前项和为，证明：．
参考数据：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列通项公式证明即可；
（2） 应用错位相减法计算求和即可；
（3）分奇偶应用等比数列求和，再构造函数应用导函数判断函数的单调性结合累加法及对数运算证明即可.
【详解】（1）由题，得；
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，故.
，
则，
两式相减得，
，
所以.
（3）由（2）可知
所以数列中的奇数项（），
偶数项，（），.
由于，则，所以，则，
所以.
由于


.
构造函数，，
所以，则在上单调递减.
所以当时，则，
即任意，，即在恒成立.
令，，则，即，，
所以，，，.
以上各式相加得，
，即.
所以.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数求导函数确定函数的单调性及应用换元法令，累加法计算求解.
基础原理：，如：；
基本题型：①；②；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：；
②系数不相同就提系数：；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应.
（1）；
（2）；
（3）；
分式型分子裂差法
形如型，如果，则可以分子裂差：
（1）
（2）
（3）
等差裂和型
形如型，如果，则可以分子裂差：
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
1、对于通项公式分奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.
2、含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
3、（1）当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有n2项，可直接利用分组求和Sn＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an).
（2）当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an.
1、数列插项问题
（1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.
（2）常见插项问题
= 1 \* GB3 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的.
= 2 \* GB3 ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的.
= 3 \* GB3 ③在和之间插入个，组成新数列
求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.
2、求解两个数列公共项的常用方法
（1）不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式.
（2）周期法：即寻找下一项.通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
常见放缩公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（7）；
（8）．
1、新定义问题的方法和技巧
（1）解决新定义问题的基本方法
= 1 \* GB3 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节
= 2 \* GB3 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构
= 3 \* GB3 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确
= 4 \* GB3 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求
（2）实用技巧
= 1 \* GB3 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件
= 2 \* GB3 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的
= 3 \* GB3 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求
= 4 \* GB3 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义