新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.3 数列（常规型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.3 数列（常规型）（2份，原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了等差数列问题解决的基本方法，数列求和的方法，已知数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，且，.，在数列中，等内容，欢迎下载使用。
1．等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换；
2．数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
3．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．
4．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点．
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知数列的前20项和.
【解题思路】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可.
【解答过程】（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2），
所以，
.
所以数列的前20项和为.
2．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项的和，证明：．
【解题思路】（1）由题意首先求得数列的前n项和，然后由前n项和与通项公式的关系即可求得数列的通项公式；
（2）首先确定数列的通项公式，再利用裂项相消即可求出，即可证明.
【解答过程】（1）∵数列是首项为1，公差为1的等差数列，
且，∴，，
∴当时，.
∵符合，
∴.
（2）由（1）知，.
所以.
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列为等差数列，满足，的前9项和．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】（1）由等差数列求和公式和等差数列的性质求数列的通项公式，再由前n项和与通项公式的关系数列的通项公式；
（2）由（1），利用裂项相消法求和.
【解答过程】（1）由是等差数列，，解得．
由得公差，故．
故的前n项和，
则，，，
则，
经检验时也满足上式，
故．
（2）由（1）知
，
故数列的前n项和．
4．（2023·贵州毕节·统考二模）已知数列{}的前n项和为，且．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】（1）由与的关系得出数列{}的通项公式；
（2）由错位相减法得出前n项和．
【解答过程】（1）由得，
当时，
，
当时，满足，
所以数列{}通项公式为
（2）由，
∴
，两式错位相减得
所以（）．
5．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知是等差数列的前n项和，是等比数列的前n项和，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）利用已知条件建立方程从而求得，，再利用等差数列、等比数列的通项公式可得；
（2）由的通项公式，求出，再根据裂项求和可得.
【解答过程】（1）因为，所以
即，即，因为，解得，．
所以，．
（2）由（1）知
得，
所以．
因此，所以 ．
6．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）解法一：结合等比数列的定义得出数列的通项公式；解法二：由累乘法得出数列的通项公式；
（2）由分组求和法结合等比求和公式求解即可.
【解答过程】（1）解法一：因为，所以．因为，所以当时，，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
解法二：因为，所以当时，，，
，…，，
将以上各式累乘得，所以．又满足该式，所以．
（2）由（1）知，
所以数列的前n项和
．
7．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.
【解答过程】（1）因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以.
8．（2023·吉林通化·校考一模）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
【解题思路】（1）设等比数列的公比为 ，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解；
（2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.
【解答过程】（1）解：设等比数列的公比为 ，
因为，即，即，所以，
又，即，解得，
所以.
（2）解：由（1）可得，
则数列为、、、、，偶数组成的数列，
又，令，则为正偶数，
所以，，，，，
所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以.
9．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合构造法即可得解；
（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，
两式相减得，即，
所以数列为常数列，且，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
10．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
【解题思路】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【解答过程】（1）因为，所以，
否则与矛盾，故，
又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
11．（2023·福建厦门·校考模拟预测）设数列的前n项和为．已知，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
【解题思路】(1)应用,结合等差数列定义证明即可;
(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消
【解答过程】（1）①，
当时，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，．
当时，；当时，；
又满足上式，所以．
所以，记数列的前n项和为．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂项）
因为，
所以
．
12．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，是公比为的等比数列.
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解题思路】（1）根据等比数列的定义可得，进而根据的关系可得为等差数列，进而可得通项，
（2）根据错位相减法或分组求和即可求解.
【解答过程】（1）由题可得，
由是公比为的等比数列知，
①，
②，
②－①得，，
等式两边同时乘以可得.
又，∴是以2为首项，为公差的等差数列.
∴，∴.
（2）通解 ∵，，
∴，
③，
④，
③－④得
，
∴.
优解 令的前n项和为，
则.
又，
，
∴.
13．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【解题思路】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.
（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为： .
即: 数列的前2n项和为.
14．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【解题思路】（1）根据等比数列的定义与通项列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和.
【解答过程】（1）∵为等比数列，则，
且，可得，
设数列的公比为，则．
∵，则，可得，
∴．
（2）由（1）知，则，，
∴，①
，②
得
，
∴．
15．（2023·全国·模拟预测）在数列中，a2=5，数列是首项为2，公差为4的等差数列，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
【解题思路】（1）由条件，根据等差数列通项公式可得，变形可得，根据等比数列定义证明数列为等比数列；
（2）由（1）根据等比数列通项公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列求和公式求和.
【解答过程】（1）由题意得，即，
∴.又，∴.
∵，∴，则，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
∴
∴
.
16．（2023·吉林·联考模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）由递推关系，利用累加法求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再根据错位相减法求其前n项和．
【解答过程】（1）因为，所以，所以 ，
又，所以，
又当时也适合上式，
所以．
（2）因为，所以，
，①
，②
-②得，
所以，
所以
故．
17．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求；
(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．
【解题思路】（1）解法一：根据，分为偶数和奇数，利用幷项求和求解；解法二：由 ，，得到，由时，，得到数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，从而得到数列是以1为首项，2为公差的等差数列求解.
（2）由，得到，再利用裂项相消法求解.
【解答过程】（1）解法一：当为偶数时，设，
，
，
所以．
当为奇数时，设，
则，
，
所以．
综上，．
解法二： 因为，，
所以，得，
当时，，
所以，
所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以．
（2）由题意可得，，
因为，所以，
所以，
所以．
18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【解题思路】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．
【解答过程】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.
【解答过程】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，
则，
于是，
两式相减得 ，
所以.
20．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；
（2）利用裂项法求和即可.
【解答过程】（1）
，解得，或（舍）
（2）
.
21．（2023·浙江·校联考三模）已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）由，可得，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得，.后由是以d为公差的等差数列，可得数列是以为首项．4为公比的等比数列，可求得数列的通项公式，后由分组求和法可得的前n项和．
【解答过程】（1））因为，所以，
所以.
所以.
则数列的通项公式为.
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列.
所以.
因为数列是等差数列，所以.
化简得.
因为，所以，即.
所以.
因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列
所以.
所以.
则数列的前n项和为：.
22．（2023·甘肃武威·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求，即可得结果；
（2）利用分组求和可求得，再结合函数单调性证明.
【解答过程】（1）设数列的公比为，
∵，则，解得，
故.
（2）由（1）知，
所以
∵在上单调递增，则数列为递增数列，
∴当时，，
故当时，.
23．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.
(1)求；
(2)设求数列的前项和.
【解题思路】（1）设等比数列的公比为，根据题目条件列方程组求解即可；
（2）由题意可得，然后利用分组求和法求解即可.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为.由题意，可知
，解得：，
.
（2）由题设及（1）可知：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故，
.
24．（2023·吉林长春·校联考一模）已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，，利用裂项相消法求和
【解答过程】（1）由题意可得：，
整理得，则
可得或，
故或.
（2）∵，由（1）可得，
则，
故
所以.
25．（2023·山东菏泽·统考一模）已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求；
(2)设为数列的前项和，证明：.
【解题思路】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前项和.
【解答过程】（1）由题意得，，得①
由，得②
由①②，可得且，则，
由，当在范围内取值时的所有取值为：
所以.
（2）
所以
由于是递减的，所以
26．（2023·天津·统考一模）已知数列中，，，，数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，设，求证：.
【解题思路】（1）根据条件可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列的通项公式；
（2）先分组求和求得，再利用裂项相消法求得；
（3）先求出的通项公式，，再根据，得到，令和，利用错位相减法求得和，再通过比较大小可证明结论.
【解答过程】（1）∵，，，
∴当，时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，
则；
当，时，数列的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，
则，
∴；
（2）由（1）得，
∴
，
∴，
∴
（3）证明：由（2）得，则，
∴（时等号成立），
由不等式的性质得，
令，数列的前项和为，
∴①，
②，
由得得，
，
∴，
由不等式的性质得，
故，
令，数列的前项和为，
∴③
④
由得，
，
∴，
由不等式的性质得，
故.
27．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．
(1)求和；
(2)若，，求的前项和．
【解题思路】（1）根据条件列方程组求解；
（2）可求得，使用分组求和.
【解答过程】（1）由已知条件可得:
①，②，③，
由①②消去得:，
由①③得:，
所以，得或，
所以或.
（2）当时，，则，
所以，
所以
，
的前项和为



28．（2023·宁夏银川·校联考一模）设是正项等差数列，，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，且，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）求，再根据裂项相消法求和.
【解答过程】（1）设正项等差数列的公差为，则，
由题意，可得，即，
解得或（舍去），
故.
（2）由（1），可得，则，
故，
即.
29．（2023·安徽淮北·统考一模）已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
【解题思路】（1）根据递推公式证明为定值即可；
（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.
【解答过程】（1）因为，
所以，
又，
所以是以为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，故，
所以，
故，
则，
两式相减得
，
所以.
30．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列满足：，求数列的前项和.
【解题思路】（1）首先判断数列为等比数列，数列是等差数列，求数列的通项公式，再根据条件求数列的首项，即可求得数列的通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用分组转化法，利用等差，等比求和公式求和.
【解答过程】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.
.