新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题16 数列解答题分类练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题16 数列解答题分类练（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了方程思想求数列通项，等差数列与等比数列的证明，裂项求和，错位相减法求和，数列与不等式，分段数列，数列开放题等内容，欢迎下载使用。
1. （2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由，，，成等差数列，得，．
当时，，符合题意，所以；
当时，所以，，则．
综上，或．
（2）当时，，
所以；
当时，，
所以，
则，
所以，
所以．
综上，或
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求证：；
(3)记其中，求数列的前项和．
【解析】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
数列是等比数列，且，
设数列的公比为，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
（2）由（1）知，
∴
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（3）由（1）可知，
∴，
∴，
令，，
∴
，
，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴数列的前项和.
二、等差数列与等比数列的证明
3. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设为数列的前项和．已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：已知①，
当时，②，
①②得：，即，
所以，，
当时，则，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）可知，，则，
所以，，
所以，，
.
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
【解析】（1），
；
数列为正项数列，，，则.
（2）当且时，，
，
整理可得：，，
经检验，当时，，得，满足条件，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列的各项均为正数，且满足．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）由，
得，
两式相减得，
即，
所以，
又因，所以，
当时，，解得（舍去），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
则，
则，
，
两式相减得
，
所以.
三、裂项求和
6. （2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，，求的值．
【解析】（1）数列的前项和为,①,
当时,②,
①②得：，所以,
又，也满足上式，故．
（2）由于，所以,故,
由于,,成等比数列,所以,
解得或（负值舍去）,
,
所以
.
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月第二次质量检测）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
【解析】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，
所以，
又当时，，
解得或(舍)，
所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，则
，
所以.
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高三上学期9月月考）已知数列，是数列的前项和，满足；数列是正项的等比数列，是数列的前项和，满足，（）.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）依题意；
当时，；当时，适合上式，
所以数列的通项公式.
又因为，数列为等比数列，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）由题意可知，，；
由已知
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时， ，
所以，
当为偶数时，，所以
，
由，得，即，
当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，当 时， 为最大值，
所以此时，
故对一切恒成立，则．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列前项和，，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证.
【解析】（1）依题意有，
，，
又为等差数列，设公差为，
，.
（2）由（1）可得，
，，，，，
.
四、错位相减法求和
10. （2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期第二次月考）已知数列满足，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意知，
则当时，，
故两式相减得，即，
又当时，，，故，
即也适合；
所以当时，，
即，也适合，故；
又数列满足，，
则为等比数列，设公比为q，则，
故，即；
（2）由（1）可得，
故，
则，
故
，
故.
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列的首项，其前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知，
∴时，，
两式相减，得，
即，从而，
又当时，，
∴又，∴，
从而．
故总有，．
又∵，∴，从而．
即是以为首项，公比为3的等比数列．
∴，
∴，
（2）由（1）知．
∴．
设，设前项和为，
则①，
②
①－②有，
故，
从而
.
12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列满足，且有.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1），即，
所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
两式相减得，，
，
即，
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求证：.
【解析】（1）当时，，
即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.
当时，，
所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，因此.
故数列的通项公式为
（2）证明：由（1）知，，记.
则①，
②，
①－②得，
化简得.
故.
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考） 已知正项数列，其前项和满足，
(1)求的通项公式.
(2)证明：.
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，则，
由累加法得，
，故，也满足该式
综上，
（2）
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列，满足，，记为的前n项和.
(1)若为等比数列，其公比，求；
(2)若为等差数列，其公差，证明：.
【解析】（1）因为为等比数列，，，
所以，所以.
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）解法一：
因为为等差数列，，，
所以，所以.
因为，即，
所以，
所以当时，
.
又符合上式，
所以.
所以

.
解法二：
因为为等差数列，，，
所以，所以.
因为，即，
所以，
所以数列为常数列.
因此，
所以.
所以

.
16.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）记为数列的前n项和，已知.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意，总有，求k的最小值.
【解析】（1）数列的前n项和，则，
于是，
即，因此，而，解得，
所以数列是首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，即，于是，
因此，而恒有成立，
所以不等式恒成立时，，即的最小值为2.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）由题意知，
当时，，所以，
当时，，，
因为，
所以，即．
因为数列为正项数列，所以，即，
所以数列为公差为2的等差数列，
所以．
（2）因为，
所以．．．①
．．．②
①－②得，
，
所以，
所以可化简为．
因为恒成立，所以．
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当，即时，；
当，即时，，
又,所以，
故，
所以实数λ的取值范围为.
六、分段数列
18. （2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和；
(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，，所以，解得，，
既是和的等差中项，又是其等比中项，
得，，
解得，即，
所以，．
（2）∵，
∴．
又∵
，
∵ ①
∴ ②
①减②得：
∴，
∴．
（3），，，则是首项为公比为的等比数列，
，，
令，，
当n为奇数时，，且递减，
可得的最大值为，
当n为偶数时，，且递增，
可得的最小值为，
所以的最小值为，最大值为，因为，对恒成立，所以，
所以，所以的最小值为．
19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
【解析】（1）由，令，则；令，则，
所以，.
（2）依题意，
，而，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由（2）知，，因此，
当时，，又，则，
，
因此，
，
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以.
七、数列开放题
20. （2023届海南省高三全真模拟）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由，得
当时，．
两式相减得，，
化简得或（舍），
所以当时，数列是公差为2的等差数列，
则．
又由，得，解得，
所以．
当时，，解得，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知，
则当时，．
，
由，得，
解得，
故当时，，
当时，也满足上式，
故．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列为等比数列，且，；②数列的前n项和，；③数列是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列各项均为正数，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为非零的等差数列，其前n项和为，，求数列的前n项和.
【解析】（1）选①设的公比为q，
由题意知：，，又，
解得，，所以.
选②时，，
时，符合，所以.
选③因为，所以.
（2）由题意知：，
又，且，所以.
令，则，
因此.
又，
两式相减得，
所以.
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知为数列的前项和，，，且________.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）由，，
当时，，
两式相减得，即，
所以数列为等比数列，公比为.
选①，由，，成等差数列，
可得，即，
解得，所以.
选②，由，，成等比数列，
得，即，
解得，所以.
选③，由，得，
所以.
（2）当为奇数时，，
记前项和中的奇数项之和为，
则.
当为偶数时，，
记前项和中的偶数项之和为，
则，
故.