新高考数学二轮复习专题突破训练专题05 数列（2份，原卷版+解析版）

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题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）
时间：90分钟
一、单选题
1．（2020·河北衡水中学高三其他模拟（理））“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·甘肃兰州一中月考（文））我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（ ）
A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5
3．（2020·湖北宜昌·高三其他模拟（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，数列满足，，，如果以和分别为长和宽得到一个矩形，其长宽之比等于1.618时，就把这个矩形定义为黄金矩形，那么时，最接近黄金矩形的n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2020·鸡西市第一中学校高一期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为
A．，14580元B．，14580元
C．，10800元D．，10800元
5．（2020·榆树市第一高级中学校月考（文））风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（ ）
A．100B．110C．120D．130
6．（2020·河北正中实验中学高三其他模拟（理））分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线.其生成方法是：（I）将正三角形（图（1））的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2）；（II）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（Ⅲ）再按上述方法继续做下去……，设图（1）中的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、图（2）、图（3）、…、图（n）、…中的图形依次记作，，，…，，…，设的周长为，则为
A．B．C．D．
7．（2020·黑龙江大庆实验中学高二开学考试）大庆实验中学开展做数学题猜WiFi密码益智活动，已知数列的通项，，数列的通项，，现将数列和中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列，若满足成立的的最小值为，若大庆实验中学WiFi密码为计算结果小数点的后8位，则大庆实验中学的WiFi的密码为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国高三专题练习（理））南宋杨辉在他年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”，如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合且中所有的数从小到大排列的数列，、、、、…下列结论错误的是（ ）
A．第四行的数是、、、B．
C．D．
二、多选题
9．（2020·湖南高三月考）“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数不可能是（ ）
A．9B．10C．12D．13
10．（2021·全国高二专题练习）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（ ）（参考数据：，，，，，）
A．26.8mB．30.1mC．27mD．29.2m
11．（2020·福建省永泰县第一中学月考）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2020·江苏高一月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，则．
C．若，则．
D．若，则．
三、填空题
13．（2020·江苏省南菁高级中学高二月考）2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.
14．（2021·河南高二期中（文））任意正整数的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为；因为，所以135的所有正约数之和为.参照上述方法，可求得1000的所有正约数之和为___________.
15．（2020·江苏省丰县中学高二月考）《九章算术》成于公元一世纪左右，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年)，刘徽为《九章》所作的注本.《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.唐宋两代都由国家明令规定为教科书.1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书，该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.如果出发的首日记作第1天，则良马和驽马在第天相逢，请同学们估算一下_______.
16．（专题6.5数列的综合应用（精练）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测）如图，在等腰直角三角形中，斜边.过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则________.
四、解答题
17．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三月考）高斯函数中用表示不超过的最大整数，对应的为的小数部分，已知数列的前项和为，数列满足．已知函数在上单调递减．
（1）若数列，其前项为，求．
（2）若数列（即为的小数部分），求的最大值．
18．（2020·上海杨浦区·高三二模）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；
策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.
（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？
（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？