新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章02 数列的性质综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章02 数列的性质综合（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 6
\l "_Tc16555" 题型一 绝对值数列（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 6
\l "_Tc7141" 题型二 奇偶类数列（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 10
\l "_Tc26803" 题型三 插项类数列（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 17
\l "_Tc13512" 题型四 公共项数列（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 25
\l "_Tc3897" 题型五 取整类数列（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 30
\l "_Tc326" 题型六 存在项数列（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 37
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 43
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 43
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 61
知识点01 等差数列
一、等差数列的有关公式
1、等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2、等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
二、等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
1、通项公式的推广：．
2、在等差数列中，当时，．
3、，…仍是等差数列，公差为．
4、，…也成等差数列，公差为．
5、若，是等差数列，则也是等差数列．
三、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
【常用结论】
1、等差数列中，若，则．
2、等差数列中，若，则．
3、等差数列中，若，则．
4、若与为等差数列，且前项和为与，则．
知识点02 等比数列
一、等比数列的有关公式
1、等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
2、等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
二、等比数列的性质
1、等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
3、其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【常用结论】
1、若，则．
2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
知识点03 数列求和
一、公式法
1、等差数列的前n项和
2、等比数列的前n项和
3、一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二、几种数列求和的常用方法
1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）


题型一 绝对值数列
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（ ）
A．630B．648C．660D．675
【答案】C
【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果.
【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列，
则，当时，，当时，，
所以
.
故选：C
2．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（ ）
A．9B．12C．18D．27
【答案】C
【分析】根据条件求出等比数列的公比，由此计算数列的通项公式，化简即可计算数列的前12项和.
【详解】设等比数列的公比为，则，，，
∵，，∴，解得或，
∵等比数列是递减数列，∴.
∵，∴，∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在
【答案】A
【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果.
【详解】当时，
，
解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意；
当时，
，
即，
若整数恰有2个，则首先，解得，
设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则，
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意，
故可取到的值有或或.
故选：A.
4．在等差数列中，，，为数列的前项和，则 ．
【答案】112
【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，即可求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，
所以，解得，所以，
令，解得，
所以，
所以
.
故答案为：
5．（24-25高三下·重庆荣昌·月考）已知数列的通项公式为，则 ．
【答案】
【分析】作差判断数列的单调性，根据单调性代入去绝对值化简计算可得结果.
【详解】因为，所以，
当时，，当时，，所以数列有最小值，
则
.
故答案为：
6．已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和与项的递推关系求出，注意验证首项是否满足.
（2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）当时，；
当时，，
此时时，；
故；
（2）由可知当时，，当时，．
当时，，
当时，，
所以

题型二 奇偶类数列
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ．
【答案】1
【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到.
【详解】设公比为，则，
其中，又，
故，，
故，即，
解得.
故答案为：1
2．等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的基本性质以及等差数列的求和公式可得出，即可求得的值.
【详解】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
故答案为：.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【答案】2
【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项.
【详解】由题设，可得，
若的公比为，则，
所以，则.
故答案为：2
4．已知数列满足，，则的前40项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为，，又，所以，
即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；
同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．
所以前40项和为．
故答案为：.
5．（24-25高三上·云南昭通·月考）设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
，
所以数列的前项和为.
6．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案；
（2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，则，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设，则可得，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以的前n项和，
设
所以的前n项和
所以．
7．（23-24高三上·辽宁·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求证：；
(3)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解，
（2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解，
（3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①-②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，故；
（2），
故
（3）由（1）知，
当是奇数时，
，
当是偶数时，
，
综上.
8．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知等比数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前n项和；
(3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式；
（2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求；
（3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，则，
由，解得，
所以.
（2）由（1），得，则，
当n为偶数时，令，则，
当n为奇数时，.
所以.
（3）由（1），知，
存在正整数n，使得成立.
当n为偶数时，，，
由，得.
因为单调递增，所以的最小值为，
因为单调递减，所以的最大值为，
所以.
当n为奇数时，，，
由，得.
因为单调递减，所以的最大值为，
因为单调递增，所以的最小值为，
所以.综上，m的取值范围是.

题型三 插项类数列
【技巧通法·提分快招】
1．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式可得，由题意，，求出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意知，，所以，
等差数列每两项之间插入k项，构成新的等差数列，
当时，，，
所以等差数列的公差为，
故.
故选：B.
2．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．510B．514C．1022D．1026
【答案】B
【分析】先设第次构造后得的数列为1，，3，求出此时所有项之和，接着得到第次构造后得到的数列，并求出，观察与的关系，结合等比数列定义得到数列是等比数列即可求解.
【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则，
则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3，
于是，，
显然，而，
因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
所以.
故选：B
3．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则 ；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则 ．
【答案】
【分析】设第一行公差为，各列的公比为且，结合已知条件求得，即可写出通项公式；再根据题意确定前70项的组成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】设第一行公差为，各列的公比为且，且，
则，，，，
所以，则，
由各项均为正数，故，则，即，
综上，，故，
由上，前n项为，且，
故在之前共有项，
则，则，
综上，前70项为，
.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键.
4．（23-24高三上·山东·月考）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的值．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可；
（ⅱ）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以，
因为数列的前项和为，且满足，
当时，，
当时，，
经验证当时，也满足上式，
综上得，．
（2）（ⅰ）在和之间插入个数，，，
因为，，，…，成等差数列，
所以设公差为，，
则．
（ⅱ）设，
则
，
设，
即，
，
．
所以，．
5．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；
（2）易知是常数列，即可求的通项公式；
（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.
【详解】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
6．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
(1)求，，，及的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，，.
(2)①，；②不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式；
（2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值；
②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断.
【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为，
则，，，，.
（2）①由，得.
当时，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
当时，，，
由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以．
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即．化简得．
又因为，所以，
得，所以，
又因为，所以，
即，所以，即，这与题设矛盾．
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列．
7．已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为；
(3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列的通项公式；先根据等比中项的概念判断数列为等比数列，再求首项与公比，可确定数列的通项公式；
（2）分别求前项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法；
（3）弄清楚数列的前项的组成，利用分组求和法求其和.
【详解】（1）等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，，
可得，，解得，，
所以；
数列各项都是正数，且满足，
，．
可得数列为等比数列，
所以，解得或舍去，
所以.
（2）因为，
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时，，
，
当为偶数时，，
所以，
.
（3）：，，，，，，，，，，，
从到共有项，
所以，当时，，
故
．
【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

题型四 公共项数列
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察得到中的奇数项都是数列中的项，即，其为公比为4的等比数列，求出，得到答案.
【详解】数列中的项为，
观察得到中的奇数项都是数列中的项，
即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列，
故，故.
故选：D
2．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】因为，
当时，则，
两式相减得，
整理可得，
且，则，可得，即，
可知等差数列的公差，
当时，则，解得；
所以，可知数列为正奇数列，
对于数列，
当时，可得为偶数；
当时，可得为奇数；
所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，
则，
所以.
故选：A.
3．（2025·广东湛江·二模）将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ．
【答案】 14 49609
【分析】与的公共项为，去掉它们的公共项后，得到，两个相邻的公共项之间有5项，其和可以构成等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】与的公共项为，去掉它们的公共项后，
剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，
所以，
且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和，
，，
，…，
可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列．
因为，
所以的前202项和为．
故答案为：14，49600
4．已知，将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列，组成一个新数列，则数列的前项和为 ．
【答案】
【分析】根据条件，得到，再利用裂项相消法，即可求解.
【详解】易知数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，为奇数，
当为偶数时，为偶数，所以数列与的公共项为奇数，
令，则，
故， ，
所以，
故答案为：.
5．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列的递推关系，确定其为等比数列并求出通项公式；
（2）根据等差数列的首项和公差求出数列的通项公式，结合求出数列的通项公式，最后求出数列的前项和.
【详解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为
因此对任意正整数，即
因为，所以，
所以，是首项为2，公比为3的等比数列，
所以
（2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以
因为，所以，即
所以，解得
6．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为.
（i）求，，；
（ii）求.
【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数．
(2)（i），，；（ii）.
【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置；
（2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到；
（ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项.
【详解】（1）设，因为，
，
所以，
所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，
所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，
所以，，故，
所以，是数阵第4行，第3097个数．
（2）（i）当时，显然．
当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉．
故．
当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个．
故．
（ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类：
①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；
②个位数字等于2时，前面位数有种取法，
但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉．
故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个．
综上，由加法原理知．
设，
所以，，即，
解得，
所以，是首项为，公比为的等比数列；
是首项为，公比为的等比数列；
所以，，
，
所以，当时，，
经检验，当时，也成立
当时，也成立．
综上，．

题型五 取整类数列
1．（2025·新疆·模拟预测）若数列的首项，且满足．
(1)证明:数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最小整数n．
【答案】(1)证明见解析
(2)11．
【分析】（1）应用递推公式结合等比数列定义证明即可；
（2）根据等比数列求和公式应用指数函数单调性解不等式.
【详解】（1），，
，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知，则，
，
由，得，解得，
因为，所以满足条件的最小整数n为11．
2．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列的首项，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)2022
【分析】(1)由变形整理得到，从而证明出结论；
(2)先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案.
【详解】（1）由得，
则，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由(1)得，，
所以，
设，，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为2022.
3．已知在数列中，，，前项和满足．
(1)求及；
(2)求使的最小整数（取）．
【答案】(1)；．
(2)．
【分析】（1）化简可得，由等比数列通项公式及前项和公式计算即可；
（2）由是大于的最小整数，且的末位数字不为1，故适合的最小整数，就是适合即的最小整数，不等式两边同时取对数计算即可求解.
【详解】（1）由，得，即．
又，故是首项为1，公比为2的等比数列，
从而；．
（2）令．
因为是大于的最小整数，且的末位数字不为1，故适合的最小整数，就是适合即的最小整数．
对两边取以2为底的对数，得，
故所求的最小整数．
4．（23-24高三上·湖南长沙·月考）已知正项数列满足：，且.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并确定最小正整数，使得为整数.
【答案】(1)
(2)，最小值是9
【分析】（1）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式化简，结合二项式定理求解整除关系，即可求解.
【详解】（1）因为，且，
，即，
，又，
是首项为，公比为2的等比数列，
.
（2）因为，
若为整数，因为，即.所以能被27整除，
.
能被27整除，
要能被27整除，
.
所以当时，能被27整除，的最小值是9.
5．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）记等差数列的公差为，前项和为，已知，且．
(1)求：；
(2)设，其中为不超过的最大整数，求的前项和．
【答案】(1)3；
(2).
【分析】（1）用表示，利用分离常数法，借助整除思想求解.
（2）由（1）的结论求出，并求出，再分段，结合等差数列前项和公式求解.
【详解】（1）依题意，，而，则，
由，得，因此是6的大于3的约数，即，
所以.
（2）由（1）知，，则，，
，，
当时，，，；
当时，，，，即，
当时，，
当时，，
所以的前项和.
6．（23-24高三上·江苏·月考）设数列的前n项和为，已知，.
(1)证明数列为等比数列；
(2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；
（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n项和与积，进而对化简，利用裂项相消法求和，分参求的取值范围.
【详解】（1）因为，①
当时，，②
①②得：，即，
经检验符合上式，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
，
所以
，
所以恒成立，即，
化简得：，
令，所以，
所以数列是递增数列，最小值为，
所以，故整数的最大值为0.
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)6
【分析】（1）利用得到，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）在（1）基础上，得到，先当为偶数时，分组求和得到，再求出当为奇数时，为偶数，，从而得到答案；
（3）求出公比，由（2）知，，即，令，则，，得到，又，，当时，，故使得成立的最大整数为6.
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①-②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2），则，设数列的前项和为，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，为偶数.
，
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，.
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，故使得成立的最大整数为6.

题型六 存在项数列
1．已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)是否存在正整数m、n （m