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新高考数学二轮复习专题培优练习专题16 数列解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习专题培优练习专题16 数列解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习专题培优练习专题16数列解答题分类练原卷版doc、新高考数学二轮复习专题培优练习专题16数列解答题分类练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
1. （2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）∵数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .
数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
二、等差数列与等比数列的证明
3. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：已知 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
（2）解：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
三、裂项求和
6. （2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ①,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ②,
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，也满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等比数列,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月第二次质量检测）数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 的前n项和记作 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2023项和．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
所以对任意正整数n，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高三上学期9月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，满足 SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 是正项的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）依题意 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 适合上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由已知 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和中，奇数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 对一切偶数成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为最小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 对一切奇数成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为最大值，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
四、错位相减法求和
10. （2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期第二次月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 也适合 SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也适合，故 SKIPIF 1 < 0 ；
又数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
故总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为3的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②
①－②有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1、公差为2的等差数列，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）证明：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考） 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也满足该式
综上， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，其公差 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 符合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
解法二：
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列.
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
16.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，求k的最小值.
【解析】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，对一切正整数n，点 SKIPIF 1 < 0 都在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为数列为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．．．①
SKIPIF 1 < 0 ．．．②
①－②得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 可化简为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为对勾函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数λ的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
六、分段数列
18. （2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，又是其等比中项，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ①
∴ SKIPIF 1 < 0 ②
①减②得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 递减，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
（3）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
七、数列开放题
20. （2023届海南省高三全真模拟）在① SKIPIF 1 < 0 成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且__________．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由 SKIPIF 1 < 0 ，得
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，
故 SKIPIF 1 < 0
若选择条件②：
由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，且满足.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为非零的等差数列，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）选①设 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选③因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且________.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 .
选①，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选②，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选③，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
记前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 中的奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
记前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 中的偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
1. （2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）∵数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .
数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
二、等差数列与等比数列的证明
3. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：已知 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
（2）解：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
三、裂项求和
6. （2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ①,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ②,
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，也满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等比数列,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月第二次质量检测）数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 的前n项和记作 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2023项和．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
所以对任意正整数n，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高三上学期9月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，满足 SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 是正项的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）依题意 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 适合上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由已知 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和中，奇数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 对一切偶数成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为最小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 对一切奇数成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为最大值，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
四、错位相减法求和
10. （2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期第二次月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 也适合 SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也适合，故 SKIPIF 1 < 0 ；
又数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
故总有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为3的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②
①－②有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1、公差为2的等差数列，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）证明：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考） 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也满足该式
综上， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，其公差 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 符合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
解法二：
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列.
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
16.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，求k的最小值.
【解析】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，对一切正整数n，点 SKIPIF 1 < 0 都在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为数列为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．．．①
SKIPIF 1 < 0 ．．．②
①－②得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 可化简为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为对勾函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数λ的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
六、分段数列
18. （2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，又是其等比中项，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ①
∴ SKIPIF 1 < 0 ②
①减②得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 递减，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
（3）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
七、数列开放题
20. （2023届海南省高三全真模拟）在① SKIPIF 1 < 0 成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且__________．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由 SKIPIF 1 < 0 ，得
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，
故 SKIPIF 1 < 0
若选择条件②：
由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，且满足.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为非零的等差数列，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）选①设 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选③因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且________.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 .
选①，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选②，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选③，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
记前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 中的奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
记前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 中的偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
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