新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章03 数列与不等式及数学归纳法的应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第6章03 数列与不等式及数学归纳法的应用（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 数列与不等式的恒成立问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 数列与不等式的证明问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 数学归纳法（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 8
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 8
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 10
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
2、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确


题型一 数列与不等式的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
2．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的前项和.
(2)在（1）的条件下，若，，求的最小值.
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)若时，恒成立，求正整数的最小值．
4．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若.
(1)求和及；
(2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立.
（i）当时，求证：；
（ii）设数列，求数列的前项和.
5．（24-25高三上·江西抚州·月考）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
8．在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在轴上的截距为，点的横坐标为，．
(1)求证：，；
(2)求证：存在，使得对任意都有．

题型二 数列与不等式的证明问题
【技巧通法·提分快招】
1．求证：．
2．求证：．
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
4．已知求证：
(1)；
(2)．
5．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
6．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求的通项公式；
(3)求的通项公式，并证明：.
9．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求，的值；
(2)设，证明是等比数列，并求其通项公式；
(3)证明：．

题型三 数学归纳法
【技巧通法·提分快招】
1．在数列中，，（n为正整数）．
(1)求，的值；
(2)证明：．
2．已知数列满足，且，．
(1)求，，；
(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．
3．已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值；
(3)若，求证：对任意自然数，总有成立．
4．已知数列满足，且.
(1)证明：；
(2)证明：.
5．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数；
(3)设，，求证：.
6．如图，已知实数，曲线与直线的交点为（异于原点），在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，，．设点的坐标为，．
(1)试用表示，并证明；
(2)求证：，且；
(3)当，时，求证：．
7．已知常数满足，数列满足，．
(1)求，，；
(2)猜想的通项公式（不用给出证明）；
(3)求证：对成立．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的首项为3，且满足，令．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的都成立，求的范围．
2．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.
3．记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．已知，，是等差数列，且．
(1)求，；
(2)求证：．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：.
6．已知在数列中，，是它的前项和，当时，．
(1)求，，的值，并推测的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
7．已知在数列中，，求证：
(1)是递增数列；
(2)．
8．（23-24高三下·北京·强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求 .
9．已知在数列中，，，求证：
(1)；
(2)．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
(1)求；
(2)若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
2．已知正项数列满足，，数列满足，（且）．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
4．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，
(1)（i）求的值；
（ii）求的值.
(2)若数列满足对于，求证：，使得．
5．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：
6．已知在数列中，，.
(1)求数列的通项；
(2)求证：；
(3)求证：.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的零点的个数；
(2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：
（i）数列是递增数列；
（ii）．
8．（24-25高三下·河南·月考）已知数列满足，且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．（附：当时，）
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题.
恒成立；
恒成立.
1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和.
2、放缩法技巧
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
1、用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．