新高考数学二轮复习解答题练习专题05 数列常考题型全归纳（七大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习解答题练习专题05 数列常考题型全归纳（七大题型）（2份，原卷版+解析版），共8页。

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20375" 题型01 裂项相消求和（含根式与指数型） PAGEREF _Tc20375 \h 1
\l "_Tc26297" 题型02 错位相减求和 PAGEREF _Tc26297 \h 3
\l "_Tc29093" 题型03 分组、并项求和（不含奇偶项） PAGEREF _Tc29093 \h 4
\l "_Tc11549" 题型04 倒序相加求和 PAGEREF _Tc11549 \h 5
\l "_Tc15986" 题型05 含绝对值求和 PAGEREF _Tc15986 \h 6
\l "_Tc30184" 题型06 关于奇偶项求和 PAGEREF _Tc30184 \h 7
\l "_Tc10516" 题型07 数列与不等式（含数学归纳法） PAGEREF _Tc10516 \h 8
题型01 裂项相消求和（含根式与指数型）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求证：．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求证：.
5．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
题型02 错位相减求和
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知为数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项的和.
2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式.
(2)试问有多少项为整数？
(3)求数列的前n项和.
4．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
题型04 倒序相加求和
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
3．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
题型05 含绝对值求和
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
3．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
题型06 关于奇偶项求和
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.
(1)计算，；
(2)求通项公式；
(3)设为数列的前n项和，求；
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）记为公差大于0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
4．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
5．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知表示数列中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到数列，则称数列为数列的“数列”．
(1)若，写出；
(2)若数列满足，且．
（i）求；
（ii）求的前项和．
题型07 数列与不等式（含数学归纳法）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
2．（23-24高三上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知数列的前项和为，，.
(1)当为何值时，数列是等比数列？
(2)设数列的前项和为，，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值.
4．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，数列满足，求证：；
(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的首项不为0，前项的和为，满足．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和为.
3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.
5．（10-11高三上·辽宁本溪·阶段练习）在数列中，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
7．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列前项的和．
8．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
9．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)若是等差数列，．求的前项和．
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
11．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
12．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
14．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
15．（23-24高三下·浙江·期中）函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
16．（23-24高三下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
17．（23-24高三下·辽宁大连·期末）记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)若，数列的前项和为，求证：．
18．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列中，，证明：，（）．
一、裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
一、错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
一、分组求和的常见类型
二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
一、数列绝对值求和
1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有
1、常见类型
①，求的值；则
②，求的值
（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则
2、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：或
②含有类型
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
二、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．