2027年中考数学一轮复习练习含答案 42.第七章 微专题10 几何中分类讨论问题

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 42.第七章 微专题10 几何中分类讨论问题
1．如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60∘ ，∠ACB=78∘ ，F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，求∠ADF的度数.
2．(2024新疆改编)如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，∠A=30∘ ，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD=30∘ ，求AD的长.
3．(2025铜仁模拟改编)在平行四边形ABCD中，对角线AC与边AD夹角为30∘ ，过点A作直线BC的垂线，交直线BC于点M，若cs∠ABM=35，AB=5，求平行四边形ABCD的面积.
4．如图，△ABC为等腰三角形，AB=BC，AC=16，BO是AC边上的高，BO=6，动点P，Q分别在边AC，AB上(点P不与点A、C重合)，连接PQ，PB，满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，求CP的长.
5．在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F.若AB=9，F是CD的三等分点，求BC的长.
(2025齐齐哈尔改编)等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE=5，tan∠AED=34，求△BEC的面积.
参考答案
1. 解：如解图①，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴在Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如解图②，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°.
∵∠BAC=60°，∠ACB=78°，
∴∠B=42°，
∴∠BDA=180°－∠B－∠BAD=180°－42°－30°=108°，
∴∠ADF=∠BDA－∠BDF=108°－90°=18°，
综上所述，∠ADF的度数为18°或60°.

解图
2. 解：在Rt△ABC中，sin A=BCAB=sin 30°=12，
∴BC=12×8=4，
∴AC=82－42=43，
当点D在点B左上方时，如解图①，
解图①
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠BDC=60°－30°=30°，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB＋BD=8＋4=12；
当点D在点B的右下方时，如解图②，
解图②
∵∠ABC=60°，∠BCD=30°，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，cs A=ADAC=cs 30°=32，
∴AD=32×43=6，
综上所述，AD的长为6或12.
3. 解：分情况讨论：①如解图①，点M在线段CB的延长线上，
解图①
∵AM⊥BC交CB的延长线于点M，
∴∠M=90°，
∵BMAB=cs∠ABM=35，且AB=5，
∴BM=35AB=3，
∴AM=AB2－BM2=4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∵∠DAC=30°，
∴∠ACM=∠DAC=30°，
∴AC=2AM=8，
∴CM=AC2－AM2=82－42=43，
∴BC=CM－BM=43－3，
∴S▱ABCD=BC∙AM=(43－3)×4=163－12；
②如解图②，点M在线段CB上，则∠AMB=∠AMC=90°，
解图②
同理①得，
AM=4，BM=3，CM=43，
∴BC=CM＋BM=43＋3，
∴S▱ABCD=BC∙AM=(43＋3)×4=163＋12，
综上所述，平行四边形ABCD的面积为163－12或163＋12.
4. 解：当△PQB为等腰三角形时，分为3种情况：
当PB=PQ时，如解图①，
解图①
∵△ABC为等腰三角形，AB=BC，AC=16，BO是AC边上的高，BO=6，
∴AO=OC=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BC=AB=62＋82=10，
∴∠BAO=∠BCO，
∵∠BPQ=∠BAO，
∴∠BPQ=∠BCO，
∵∠APB=∠APQ＋∠BPQ=∠BCO＋∠CBP，
∴∠APQ=∠CBP，
在△APQ和△CBP中，
∠PAQ=∠BCP∠APQ=∠CBPPQ=BP，
∴△APQ≌△CBP(AAS)，
∴AP=BC=10，
∴CP=AC－AP=16－10=6；
当BQ=BP时，
则∠BPQ=∠BQP，
∵∠BPQ=∠BAO，
∴∠BAO=∠BQP，
根据三角形外角性质得∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
当QB=QP时，如解图②，
解图②
则∠QBP=∠BPQ=∠BAO，
∴PB=PA，
设OP=x，则PB=PA=8－x，
在Rt△OBP中，由勾股定理得PB2=OP2＋OB2，
∴(8－x)2=x2＋62，
解得x=74，
∴OP=74，
∴CP=OP＋OC=74＋8=394，
综上所述，CP的长为6或394.
5. 解：如解图，延长EF，BC交于点G，
解图
∵在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，AD∥BC，
∴AE=AB=9，
∴Rt△ABE中，BE=92，
∵∠BED的平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠DEF，△EFD∽△GFC，
∴∠BEG=∠G，
∴BG=BE=92，
∴分情况讨论：①当DF=2CF时，
CGDE=CFDF=CF2CF=12，
设CG=x，则DE=2x，AD=9＋2x=BC，
∵BG=BC＋CG，
∴92=9＋2x＋x，解得x=32－3，
∴BC=BG－CG=62＋3；
②当DF=12CF时，
CGDE=CFDF=CF12CF=2，
设DE=x，则CG=2x，AD=9＋x=BC，
∵BG=BC＋CG，
∴92=9＋x＋2x，解得x=32－3，
∴CG=62－6，
∴BC=BG－CG=32＋6，
综上所述，BC的长为62＋3或32＋6.
6. 解：如解图①，
解图①
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD=BD，AE=BE=5，
∴∠ADE=90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
∴设AD=3x，DE=4x，
∴AE=5x=5，
解得x=1，
∴AD=BD=3，DE=4，
∴AB=AC=6，
∴CE=1，
∴S△ABES△BEC=12×6×4S△BEC=51，
∴S△BEC=125；
如解图②，
解图②
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD=BD，AE=BE=5，
∴∠ADE=90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
∴设AD=3x，DE=4x，
∴AE=5x=5，
解得x=1，
∴AD=BD=3，DE=4，
∴AB=AC=6，
∴CE=11，
∴S△ABES△BEC=12×6×4S△BEC=511，
∴S△BEC=1325，
综上所述，△BEC的面积为125或1325.