2027年中考数学一轮复习练习含答案 38.第六章 微专题9 与辅助圆有关的问题

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2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P是直线AB上的一个动点，AE=2，△APE沿PE所在直线翻折形成△FPE，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 .
3．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，连接AC，BD，若AB=AC=AD=2，CD=1，则BD的长为 .
4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘ ，AB=4，D为AB边的中点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E.若∠ACD=30∘ ，则△CBE的面积为 .
5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O内一点，连接AC，BC，AC=BC，点D是⊙O上一点，连接CD，若∠ACB=120∘ ，△ABC的面积为43，则线段CD长的最小值为 ，最大值为 .
6．(2025铜仁模拟)如图，在等边△ABC中，AB=6，点D，点E分别在BC和AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为 .
7．如图，在△ABC中，BC=6，∠BAC=60∘ ，过点A作AD⊥BC于点D，求AD的最大值.
8．如图，E是正方形ABCD下方一点，连接AE，BE，DE，若AE=4，∠AEB=135∘ ，求DE-BE的值.
参考答案
1. 22－2 【解析】∵∠DCE=∠ADP，∠ADP＋∠CDP=90°，∴∠DCE＋∠CDP=90°，∴∠DEC=90°，∴点E在以DC为直径的圆上，如解图，点O是CD的中点，连接AO，交⊙O于点E′，此时AE有最小值即为AE′，∵CD=4，∴DO=CO=2，∴AO=AD2＋DO2=22，∴AE的最小值为22－2.
解图
2. 213－2，2 【解析】如解图，连接CE，过点E作EG⊥BC于G，∵△FPE是由△APE翻折得到的，∴AE=EF=2，∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，∴当E，F，C三点共线时，FC取得最小值，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE=DE2＋CD2=62＋42=213，∴FC最小值为CE－EF=213－2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠BGE=90°，∴四边形ABGE是矩形，∴EG=AB=4，∴点F到线段BC的最短距离是EG－EF=2.
解图
3. 15 【解析】如解图，∵AB=AC=AD=2，∴点B，C，D在以点A为圆心，2为半径的圆上，延长DA交⊙A于点E，连接BE，∵AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴BE=CD，∴BE=CD=1，∵DE为⊙A的直径，∴∠DBE=90°，∵DE=2AD=4，∴BD=DE2－BE2=15，∴BD的长为15.
解图
4. 532 【解析】∵∠A=90°，BE⊥CE，∴A，C，B，E四点在以BC为直径的圆上.如解图，∵∠ACE与∠ABE为同弧所对圆周角，∴∠ABE=∠ACE=30°，∵点D为AB边中点，AB=4，∴AD=BD=2，在Rt△ADC中，∠ACD=30°，AD=2，∴CD=4，在Rt△BDE中，∠EBD=30°，BD=2，∴DE=1，BE=3，∴CE=CD＋DE=4＋1=5，∴S△BCE=12CE∙BE=12×5×3=532.
解图
(一题多解法)
∵AB=4，D为AB的中点，∴AD=BD=2，在Rt△ABC中，∵∠A=90°，∠ACD=30°，AD=2，∴CD=4，∵BE⊥CD，∴∠E=∠A=90°，∵∠ADC=∠EDB，∴∠DBE=∠ACD=30°，∴DE=1，BE=3，∴CE=CD＋DE=5，∴S△CBE=12BE∙CE=532.
5. 23－2，23＋2 【解析】如解图，过C，O两点作直线CO分别交⊙O于点D′，D″，∵AC=BC，∴D′D″⊥AB，∵∠ACB=120°，∴∠OBC=30°，∴OB=3OC.∵S△ABC=12AB∙OC=OB∙OC=43，∴OC=2，∴OB=23.∴当点D与点D′重合时，CD有最小值23－2；当点D与点D″重合时，CD有最大值23＋2.
解图
6. 23 【解析】如解图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，又∵∠AFE=∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE=∠CBE＋∠ABE=∠ABC，∴∠AFE=60°，∴∠AFB=120°，∴点F的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°，OA=23)，连接OC交⊙O于点N，易得OC=43，当点F与点N重合时，CF的值最小，最小值为OC－ON=43－23=23.
解图
7. 解：∵BC=6，∠BAC=60°，
∴点A在以BC为弦，所对应圆周角为60°的圆上运动，
∴所对应圆心角为120°.
如解图，作出⊙O，连接AO，BO，CO，过点O作OE⊥BC于点E，
∵AD≤AO＋OE，
∴点A，O，E三点共线时，AD有最大值.
∵BC=6，OB=OC，
∴BE=3，∠BOE=12∠BOC=∠BAC=60°，
∴OE=BEtan60°=3，OB=BEsin60°=23，
∴OA=OB=23，
∴OA＋OE=23＋3=33，
即AD的最大值为33.
解图
8. 解：如解图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=45°，
∵∠AEB=135°，
∴A，D，B，E四点共圆，作四边形ADBE的外接圆，
∵∠DAB=90°，
∴BD为外接圆直径，圆心为BD的中点，记为点O，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴∠AED=∠AEB－∠BED=45°.过点A作AG⊥AE，交DE于点G，则∠AGE=45°，
∴∠AGD=135°，∴∠AGD=∠AEB.
∵∠DAG=∠DAB－∠GAB，∠BAE=∠GAE－∠GAB，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE(AAS)，
∴DG=BE，∴DE－BE=DE－DG=EG.
∵AE=4，∴EG=42，
即DE－BE的值为42.
解图