2027年中考数学一轮复习练习含答案 44.第七章 微专题12 主从联动问题

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A. 线段B. 圆弧C. 折线D. 波浪线
2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是对角线BD上一动点，P是AE的中点，连接CP，则CP的最小值为 .
3．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90∘ ，AB=5，D是平面内一点，AD=2，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90∘ 得到线段ED，连接AE，则AE的最大值为 ，此时∠DAB的度数为 .
4．(2025贵州省模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘ ，∠C=30∘ ，AB=1.AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC上一点，连接DE，将DE沿DA方向平移到AF，连接BF，则BF的最小值为 .
5．已知，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘ ，AB=AC，D是BC边上一点.
(1) 如图①，以AD为边向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90∘ ，AD=AE，请画出当点D从点B运动到点C时，点E的运动轨迹；
(2) 如图②，在(1)的条件下，若AB=6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值.
参考答案
1. A 【解析】如解图，连接OG，根据题意可知∠EOF=∠BOC=90°，∴∠BOE=∠COF，∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF= 45°，∵G为EF的中点，∴OG⊥EF，∴△OEG为等腰直角三角形，∴∠EOG=45°，OG=22OE.由题意可知，点E是主动点，点G是从动点，点E在线段AB上运动，∴点G经过的路线是线段.
解图
2. 365 【解析】如解图，取AB的中点F，AD的中点G，连接FG，∵AB=6，AD=8，∴AF=BF=3，AG=DG=4.∵P是AE的中点，∴当点E与点B重合时，点P与点F重合，当点E与点D重合时，点P与点G重合，∴点P的运动轨迹为线段FG.在Rt△BAD中，BD=AB2＋AD2=10，∴FG=12BD=5.连接CF，CG，∵S矩形ABCD=AB∙AD=48，S△AFG=12AF∙AG=6，S△BFC=12BF∙BC=12，S△CDG=12CD∙DG=12，∴S△CFG=S矩形ABCD－S△AFG－S△BFC－S△CDG=18.过点C作CH⊥GF于点H，则CP的最小值为线段CH的长.∵S△CFG=12FG∙CH=18，∴CH=365，∴CP的最小值为365.
解图
3. 5＋22，135° 【解析】如解图①，连接CE，BE.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，∠CBA=∠BCA=45°，∵将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段ED，∴ED=BD，∠DBE=45°，∴∠ABC－∠CBD=∠DBE－∠CBD，即∠ABD=∠CBE，∵ABCB=12=DBEB，∴△ADB∽△CEB，∴CE=2AD=2×2=22，∵AD=2，∴点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆上运动，∴点E在以点C为圆心，CE长为半径的圆上运动.∵AE≤AC＋CE，∴如解图②，当A，C，E三点在同一直线上时，AE最长，∴AE最大=AC＋CE=5＋22，∠DAB=∠ECB=180°－∠ACB=135°.

解图
4. 536
5. 解：(1)如解图①，虚线MN即为点D从点B运动到点C时，点E的运动轨迹；
解图①
(2)如解图②，过点C作CN⊥BC交BA的延长线于点N，
∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=90°，
∴点E在垂直于BC的线段MN上运动，
当FE⊥MN时，EF取得最小值，此时EF∥BC，
设EF交AC于点G，
∵F是AB的中点，
∴G是AC的中点，
∵AB=6，
∴BC=62，CG=3，
∴FG=32，GE=22CG=322，
∴EF=FG＋GE=32＋322=922，
∴EF的最小值为922.
解图②