2027年中考数学一轮复习练习含答案 43.第七章 微专题11 线段最值问题

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2．(2025黔南州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC=90∘ ，AB=BC=2，D是BC边上的任意一点，连接AD，E是AD上一点，连接BE，使得∠1=∠2，连接CE，则CE的最小值是 .
3．(2025南明区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线，P，Q分别是AD，AC上的动点，连接PC，PQ，则PQ+PC的最小值是 .
4． 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，E，F分别是AB，CD上的动点，连接EF，AF，CE，EF//BC，则AF+CE的最小值为 .
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为边AB，AD的中点，M，N分别为BC，CD上的动点，则四边形EFNM周长的最小值为 .
6．如图，在正方形ABCD中，AB=10，对角线AC，BD相交于点O，E是AO的中点，F为对角线BD上的动点，求EF+22BF的最小值.
7．(2025乌当区模拟)如图，在正方形ABCD中，E是BC边上靠近B的三等分点，F是BC的中点，P是对角线BD上的动点，当PE+PF取得最小值时，求DPBP的值.
参考答案
1. 1.5 【解析】如解图，连接AG，AC，AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，BD=8，∴AC⊥BD，BO=12BD=4，∵AB=5，∴AO=3，∵点G是线段BD上的动点，AC⊥BD，∴AGmin=AO=3，∵点E，F分别是线段AM，GM的中点，∴EF是△AMG的中位线，∴EF=12AG，∴EFmin=12AGmin=1.5.
解图
2. 5－1 【解析】取AB的中点F，连接EF，FC，则AF=BF=12AB=1，∵∠1=∠2，∠1＋∠ABE=∠ABC=90°，∴∠2＋∠ABE=90°，CF=BF2＋BC2=12＋22=5，∴∠AEB=∠ABC=90°，∴EF=12AB=1，∵在△EFC中EC＞CF－EF，当E在FC上时，EC=CF－EF，∴EC≥CF－EF=5－1，∴CE的最小值是5－1.
解图
3. 245 【解析】如解图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′.∵AD平分∠BAC，∴点Q′在直线AB上，PQ=PQ′，∴PC＋PQ=PC＋PQ′，∴当CQ′⊥AB，P为CQ′与AD的交点时，PC＋PQ′取得最小值，最小值为CQ′的长，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2＋BC2=10，∴12AC∙BC=12AB∙CQ′，即12×6×8=12×10∙CQ′，∴CQ′=245，∴PQ＋PC的最小值为245.
解图
4. 5 【解析】由题意知EF=BC=AD=2，如解图，过点F作FG∥CE，交BC延长线于点G，连接AG，∵EF∥BC，∴四边形EFGC为平行四边形，∴CE=GF，CG=EF=2，则AF＋CE=AF＋FG≥AG，∴当A，F，G三点共线时，AF＋CE取得最小值，最小值为AG的长，∵BG=BC＋CG=4，∴在Rt△ABG中，AG=AB2＋BG2=5，∴AF＋CE的最小值为5.
解图
5. 20 【解析】如解图，作点E关于BC的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，交BC于点M′，交CD于点N′，连接EM′，FN′，则EM′=E′M′，FN′=F′N′，∴EF＋EM＋MN＋FN≥EF＋E′F′，∴当点M与点M′重合，点N与点N′重合时，四边形EFNM的周长取得最小值，最小值为EF＋E′F′，∵AB=6，AD=8，E，F分别为边AB，AD的中点，∴BE′=BE=3，F′D=FD=4，∴AE′=6＋3=9，AF′=8＋4=12，在Rt△AE′F′中，E′F′=92＋122=15，在Rt△AEF中，EF=32＋42=5，∴四边形EFNM周长的最小值=EF＋E′F′=5＋15=20.
解图
6. 解：如解图，过点F作FG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=12∠ABC=45°，
在Rt△FBG中，sin∠FBG=sin 45°=FGBF=22，
∴FG=22BF，
∴EF＋22BF=EF＋FG，过点E作EG′⊥BC于点G′，
∵EF＋FG≥EG′，
∴当E，F，G三点共线，且EG⊥BC时，EF＋22BF取得最小值，
∵E是AO的中点，
∴EC=34AC，∵EG′∥AB，AB=10，
∴EG′=34AB，
∴EG′=152，
∴EF＋22BF的最小值为152.
解图
7. 解：如解图，在AB上截取BH=BE，过点H作HG∥AD交BD于点G，连接HP，HF交BD于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠A=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AD∥BC，
∵HG∥AD，
∴∠BHG=∠A=90°，HG∥BC，
∴△BHG是等腰直角三角形，
∴HG=BH=BE，
∵E是BC边上靠近B的三等分点，F是BC的中点，
∴BF=12BC，BE=13BC，
∵BH=BE，∠PBH=∠PBE，BP=BP，
∴△PBH≌△PBE(SAS)，
∴PH=PE，
∴PE＋PF=PH＋PF，
∴当H，P，F三点共线时，PH＋PF有最小值，即此时PE＋PF有最小值，
∴当PE＋PF有最小值时，点P与点P′重合，
∵HG∥BC，
∴△HGP′∽△FBP′，
∴BP'GP'=BFGH=BFBE=12BC13BC=32，
∴BP′=35BG，
∵HG∥AD，
∴△BHG∽△BAD，
∴BGBD=BHBA=BEBC=13，
∴BG=13BD，∴BP′=15BD，∴DP'BP'=4，
∴当DE＋PF取得最小值时，DPBP的值是4.
解图