2027年中考数学一轮复习练习含答案 45.第七章 微专题13 折叠类问题

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A. 5B. 6C. 6.5D. 7
2．(2025甘肃省卷)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形.若AB=6cm，则AD= cm.
3．(2024威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E.若BM=3，BC'=4，AC'=3，则DN= .
4．如图，在矩形ABCD中，将△BCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点E处，BE与AD交于点F，过点D作DG//BE交BC于点G，连接FG交BD于点O.
(1) 求证：四边形BFDG是菱形；
(2) 若AB=3，AD=4，求FG的长.
5．(新考法 综合与实践)(2025遵义模拟)
综合与探究
主题：矩形的折叠的探究
某数学学习小组用一张矩形纸片进行探究活动，如图①，矩形ABCD中，AD足够长.
【动手操作】
操作一：在AD上有一点P，将矩形纸片沿BP折叠，使点A落在点A'处；
操作二：射线PA'交BC于点M，过点M作MN丄AD于点N.
【探究发现】
(1) 写出与∠APB相等的一个角为 ，PM与BM的数量关系为 ；
【问题探究】
(2) 如图②，若点A'与点M重合，判断四边形ABMN的形状，并说明理由；
【拓展应用】
(3) 在折叠过程中，若A'P=3A'M，求ANAB的值.
参考答案
1. D 【解析】∵AB=4，BC=5，AC=6，∴由折叠的性质得AE=AB=4，DE=BD，∴CE=AC－AE=6－4=2，CD＋DE=CD＋BD=BC=5，∴△CDE的周长为CE＋CD＋DE=CE＋BC=2＋5=7.
2. 12 【解析】∵△CDE为等边三角形，∴∠DEC=∠D=60°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=60°，CD=DE=AB=6 cm，由折叠的性质可得，∠B=∠B′=60°，AB=AB′=6 cm，又∵∠AEB′=∠CED=60°，∴△AEB′为等边三角形，∴AE=AB′=6 cm，∴AD=AE＋DE=12 cm.
3. 32 【解析】在 Rt△C′BM 中，C′M=C'B2＋BM2=42＋32=5，由折叠的性质可得C′M=CM=5，∠D′C′M=∠D′=∠D=∠C=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠BC′M＋∠AC′E=∠AEC′＋∠AC′E=90°，∴∠BC′M=∠AEC′，又∵AC′=BM=3，∴△BC′M≌△AEC′(AAS)，∴BC′=AE=4，MC′=C′E=5，∴AB=CD=C′D′=7，BC=AD=BM＋CM=3＋5=8，∴DE=AD－AE=8－4=4，D′E=C′D′－C′E=7－5=2，设DN=D′N=a，则EN=4－a，在Rt△D′EN中，NE2=D′E2＋D′N2，即(4－a)2=22＋a2，解得a=32.
4. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
根据折叠可得，∠DBC=∠DBE，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=3，AD=4，
∴BD=AB2＋AD2=5，
设DF=BF=x，则AF=AD－DF=4－x.
在Rt△ABF中，AB2＋AF2=BF2，
即32＋(4－x)2=x2，
解得x=258，
∴DF=258.
又∵DF∙AB=12BD∙FG，
∴FG=2DF∙ABBD=2×258×35=154.
5. 解：(1)∠A′PB或∠PBM，PM=BM；
【解法提示】由折叠的性质可得∠APB=∠A′PB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PBM=∠APB，∴∠PBM=∠A′PB，∴PM=BM.
(2)四边形ABMN为正方形.
理由如下：当点A′与点M重合时，点P与点N重合.
∵四边形ABCD是矩形，MN⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠ANM=∠BMN=90°，
由折叠的性质得∠ANB=∠BNM=45°，
∴BM=MN，
∴四边形ABMN是正方形；
(3)设A′M=x，则A′P=3x，
情况一：当点A′在线段PM上时，如解图①，
解图①
由折叠的性质可得∠APB=∠A′PB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠PBM=∠APB，
∴∠PBM=∠A′PB，∴PM=BM.
∵四边形ABCD是矩形，MN⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM=PM=4x，
在Rt△PMN中，PN=AN－AP=x，
得MN=16x2－x2=15x，
∴ANAB=ANMN=41515；
情况二：当点M在线段PA′上时，如解图②，
解图②
由折叠的性质可知AP=A′P，
同理可知AN=BM=PM=2x，
在Rt△PMN中，PN=AP－AN=x，
得MN=4x2－x2=3x，
∴ANAB=ANMN=233.
综上所述，ANAB的值为41515或233.