2027年中考数学一轮复习练习含答案 36.第六章 第28节 提升课 与圆有关的证明与计算

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基础巩固
1．(2025浙江)如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE.
(1) 求证：OD⊥OE；
(2) 若AB=BC，OB=3，求四边形ODCE的面积.
2．(2025白云区模拟)如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交直径DA的延长线于点E，连接BD.
(1) 写出图中一个与∠ADB相等的角；
(2) 求证：∠ABE=∠ACB；
(3) 若AE=2cm，BE=4cm，求⊙O的半径.
能力提升
3． 如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB于点E，连接AD，AB=AC.过点A作AF⊥AB交⊙O于点F，连接BF交CD于点G.
(1) 根据题意补全图形，点O与BF的位置关系为 ；
(2) 求证：四边形ADGF为平行四边形；
(3) 若AB=AC=5，BC=25，求BGAD的值.
4．(2025贵州省模拟)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45∘ ，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，连接OA交BC于点D，连接OC.
(1) 求证：∠ACE=∠ABC；
(2) 探究AC，BC与CD的数量关系，并说明理由；
(3) 若tan∠DCO=13，CE=6，求⊙O的半径.
参考答案
1. (1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵AC是⊙O的切线，E为切点，
∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE；
(2)解：∵AB=AC，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△AEO中，∵OE=OD=OB=3，
∴OA=OEsinA=332=2，AE=OEtanA=33=1，
∴AC=AB=AO＋OB=2＋3，
∴EC=AC－AE=2＋3－1=1＋3，
∴四边形ODCE的面积为12OE∙(OD＋EC)=12×3×(3＋1＋3)=3＋32.
2. (1)解：∠ACB(答案不唯一)；
(2)证明：如解图，连接OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
由题意，得EB是⊙O的切线，
∴∠OBE=90°，
∵DA是⊙O的直径，
∴∠ABD=∠OBE=90°，
∴∠ABE=90°－∠OBA=90°－∠OAB=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB；
解图
(3)解：如解图，由(2)，得∠OBE=90°，
∵在Rt△OBE中，AE=2 cm，BE=4 cm，OA=OB，由勾股定理，得OE2=OB2＋BE2，
∴(OA＋2)2=OA2＋42，
解得OA=3，
∴⊙O的半径为3 cm.
3. (1)解：补全图形如解图，点O在BF上；
解图
(2)证明：∵AF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB=∠BGD，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠ABC，
∵AB=AB，
∴∠ACB=∠AFB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADC=∠AFB=∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形；
(3)解：设BE=x，
∵AB=AC=5，
∴AE=AB－BE=5－x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
∴BC2－BE2=CE2=AC2－AE2，
∵BC=25，
∴(25)2－x2=52－(5－x)2，
解得x=2，
∴BE=2，AE=3，
∴BEAE=23，
由(2)知，∠ADC=∠BGD，
∵∠AED=∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴BGAD=BEAE=23，
∴BGAD=23.
4. (1)证明：∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵CE为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴∠OCE=90°，∴∠ACE=45°，
∴∠ACE=∠ABC；
(2)解：AC2=BC∙CD，理由如下：由(1) 得∠CAD=90°－∠ACO=45°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴BCAC=ACDC，
∴AC2=BC∙CD；
(3)解：如解图，过点E作EH⊥AC于点H，
∵∠ACE=∠OAC=45°，
∴CH=EH=22CE=32，
∵∠CDO=∠CAD＋∠ACB，∠EAH=∠ABC＋∠ACB，∠CAD=∠ABC，
∴∠CDO=∠EAH，
∴∠AEH=∠DCO，
∴tan∠AEH=tan∠DCO=13，
∴AHEH=13，
∴AH=13EH=2，
∴AC=AH＋CH=42，
∴OC=22AC=4，
∴⊙O的半径为4.
解图