2025年中考数学总复习讲义（山东专用）34 第一部分 第六章 微专题六 辅助圆问题（无答案）

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结论1：若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB为半径．
【典例1】 (2024·新泰三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，BF＝2AE，连接EF，作BH⊥EF于H点，连接CH．则线段CH的最小值为( )
A．32B．2
C．23－2D．26－2
[听课记录]




[跟踪训练]
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAD＝140°，∠BDC＝50°，则∠DBC＝( )
A．30°B．25°
C．20°D．15°
2．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM的最大值为( )
A．25＋1 B．5＋1
C．4 D．52＋1
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是( )
A．6B．5
C．4D．3
模型二 定弦定角作圆
[模型展示]
结论2：若有一固定线段AB，其所对应的∠C大小固定，则根据圆的知识可知C并不是唯一固定的点，它旋转的轨迹是圆(不含点A，B)或者圆弧，当CA＝CB时，点C到AB的距离最大．
【典例2】 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为( )
A．2B．4
C．5D．7
[跟踪训练]
1．如图，等边△ABC的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持∠AFB＝90°，则线段CF长度的最大值与最小值的差为( )
A．4－23B．2
C．23－2D．3－1
2．如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出下面四个结论：①AE＋CE≥2a；②CE≤5-12a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE＝a时，tan ∠ABE＝12．上述结论中，所有正确结论的序号为( )
A．①②B．①③
C．①④D．①③④
3．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为( )
A．4B．5
C．6D．8
模型三 四点共圆
[模型展示]
结论3：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
(2)圆内接四边形的对角互补；
(3)圆内接四边形的外角等于内对角．
【典例3】 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝7，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B两点重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内一点，满足GE＝GF，∠EGF＝90°．下列结论错误的是( )
A．∠GEB与∠GFB一定互补
B．点G到边AB，BC的距离一定相等
C．G，B两点之间距离的最大值为6
D．点G到CD边的距离的最小值为22
[跟踪训练]
1．在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD＝4，CD＝3，AC＝5，cs ∠BCA＝sin ∠BAC＝12，求∠BDC的大小．






2．如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为________；将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为________；
(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
(3)在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写出AD的长．