新高考数学一轮复习题型分类讲练2.5 对数运算及对数函数（精讲)（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练2.5 对数运算及对数函数（精讲)（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了对数的运算，对数型函数的定义域，对数型函数的单调性，对数型函数的值域，对数型函数过定点，对数型函数图像，对数函数的对称性，对数函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。


考向一 对数的运算
【例1-1】计算下列式子
(1)
(2)．
(3)．
(4)；
（5）
【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A．1B．C．2D．
【一隅三反】
1．（24-25陕西咸阳）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2.计算下来式子
（1）.
（2）
（3）．
（4）
（5）．
（6）；
考向二 对数型函数的定义域
【例2-1】（2025辽宁）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（24-25辽宁）的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（24-25辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】（23-24北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25吉林四平）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25广东梅州）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3.（24-25上海）函数的定义域为
4.（24-25辽宁沈阳）函数的定义域为 ．
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域 ．
考向三 对数型函数的单调性
【例3-1】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（24-25山西）已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25广东揭阳）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25 安徽蚌埠 ）函数的单调递增区间是 .
3．（24-25 湖南岳阳 ）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考向四 对数型函数单调性的应用---比较大小
【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
考向五 对数型函数单调性的应用---解不等式
【例5-1】（24-25 江苏苏州 ）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25 云南德宏 ）已知实数a满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
考向六 对数型函数的值域
【例6-1】（2025陕西）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（ ）
A．1B．2或C．4D．4或
【例6-3】（24-25江苏）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·阶段练习）函数的最小值为
2（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
3．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
4.（24-25高三下·广西·开学考试）函数值域为R的一个充分不必要条件是
5．（24-25 广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是
考向七 对数型函数过定点
【例7-1】（24-25 河南 ）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．8
【一隅三反】
1.（24-25 ·广东潮州 ）已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ）
A．B．C．2D．
2．（24-25江西）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25山东德州）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限
考向八 对数型函数图像
【例8-1】（24-25安徽合肥）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（24-25 贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（24-25湖南岳阳）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
考向九 对数函数的对称性
【例9-1】（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）若函数是奇函数，则b的值为（ ）
A．B．2C．-2D．4
【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1.．（24-25 北京·期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数，且曲线存在对称轴
B．在上是增函数，且曲线存在对称中心
C．在上是减函数，且曲线存在对称轴
D．在上是减函数，且曲线存在对称中心
2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25 湖北 ）若函数为奇函数，则实数的值为 ．
考向十 对数函数的实际应用
【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10%B．20%C．30%D．40%
【例10-2】（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（ ）
A．10B．4.05C．D．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2028年B．2029年C．2030年D．2031年
3．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年B．年
C．年D．年
考向十一 反函数
【例11-1】（23-24湖南株洲）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（ ）
A．B．C．D．2
【例11-2】（2025·上海）若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，2]
C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【一隅三反】
1．（23-24 福建 ）已知函数，是的反函数，则（ ）
A．10B．8C．5D．2
2．（2025·河南）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4B．2C．1D．
3．（2025·浙江·二模）（多选）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
考向十二 对数函数的综合应用
【例12-1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数为偶函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.
【一隅三反】
1（2025 ·陕西西安 ）已知函数且.
(1)当时，
①若，求的值；
②当时，用定义证明函数是上的减函数；
(2)若为偶函数，且，求的取值范围.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
3．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)若，求函数的值域.