新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练2-7 对数与对数函数(精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc31951" 2.7 对数与对数函数 PAGEREF _Tc31951 \h 1
\l "_Tc7379" 一、主干知识 PAGEREF _Tc7379 \h 1
\l "_Tc7682" 考点1：对数 PAGEREF _Tc7682 \h 2
\l "_Tc25647" 考点2：对数函数 PAGEREF _Tc25647 \h 2
\l "_Tc11305" 【常用结论归纳】 PAGEREF _Tc11305 \h 3
\l "_Tc23976" 二、分类题型 PAGEREF _Tc23976 \h 5
\l "_Tc25112" 题型一 对数式的运算 PAGEREF _Tc25112 \h 5
\l "_Tc10865" 题型二 对数函数的图像及应用 PAGEREF _Tc10865 \h 6
\l "_Tc12061" 题型三 对数函数的性质及应用 PAGEREF _Tc12061 \h 8
\l "_Tc11231" 命题点1 比较指数式、对数式的大小 PAGEREF _Tc11231 \h 8
\l "_Tc26996" 命题点2 解对数方程不等式 PAGEREF _Tc26996 \h 8
\l "_Tc22678" 命题点3 对数性质的应用 PAGEREF _Tc22678 \h 8
\l "_Tc2364" 三、课堂总结：知识图谱 PAGEREF _Tc2364 \h 10
\l "_Tc23577" 四、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc23577 \h 11
一、主干知识
考点1：对数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
考点2：对数函数
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【常用结论归纳】
1．lgab·lgba＝1，＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
4.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝lgab；lgaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）lgma＝g（x）lgmb；（两边取对数法）
（4）lgaf（x）＝lgbg（x）⇔lgaf（x）＝；（换底法）
（5）Algx+Blgax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝lgax或t＝ax）（换元法）
5.指数函数与对数函数的联系与区别：
二、分类题型
题型一 对数式的运算
（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（ ）.
A．3B．6C．12D．18
（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（ ）.
A．3B．6C．12D．18
（2021秋·高一课时练习）计算:
(1)；(2).
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是__________.
（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
已知，则的值为_________．
已知，则______.
计算：
(1)；(2)
题型二 对数函数的图像及应用
已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
若函数的值域为，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
函数零点的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
已知，且，则函数与的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则
A．B．C．D．
命题点2 解对数方程不等式
不等式的解集是
A．B．C．D．，，
方程的解 ．
命题点3 对数性质的应用
（2023•宝鸡二模）已知函数，则
A．在单调递减，在单调递增
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．有最小值，但无最大值
（2023•五河县模拟）已知函数，则下列说法中正确的是
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的图象关于轴对称
C．函数在，上是减函数
D．函数的值域为
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
（2021•天津）若，则
A．B．C．1D．
（2021•全国）已知，则以下四个数中最大的是
A．B．C．D．
（福建高考真题）若函数且的值域是，，则实数的取值范围是 ．
（2022秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为
A．B．C．D．
（2022秋•南山区校级期末）函数的定义域是 ．
（2021秋•连云港期末）方程的解是 ．
（2020秋•湘西州期末）函数的定义域是 ．
（2023春•滁州期中）函数的值域为 ．
三、课堂总结：知识图谱
四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•辽阳二模）若，，，则
A．B．C．D．
2．（2022•天津）已知，，，则
A．B．C．D．
3．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则
A．B．C．D．
4．（2020•新课标Ⅲ）设，，，则
A．B．C．D．
5．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为
A．B．C．D．
6．（2020•天津）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
7．（2019•新课标Ⅰ）已知，，，则
A．B．C．D．
8．（2019•天津）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
9．（2019•天津）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
10．（2018•天津）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
11．（2018•天津）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
12．（2022•浙江）已知，，则
A．25B．5C．D．
1．（2023•河南模拟）已知，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
2．（2022秋•天河区期末）已知实数，．满足，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知，，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
4．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为，地球公转周期为，万有引力常量为，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量．已知，，，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为
A．B．C．D．
5．（2022•江西模拟）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
6．（2021秋•云南期末）已知，，，则
A．B．C．D．
7．（2021秋•赣州期末）若，且，则实数的值为 ．
8．（2022春•天心区校级期末）若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是 ．
9．（2021秋•平罗县校级期末）已知，则实数的取值范围是 ．
1．已知两条直线和，与函数的图象从左到右相交于、，与函数的图象从左到右相交于、，记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为
A．B．C．D．
2．如图，已知过原点的直线与函数的图象交于，两点，分别过，作轴的平行线与函数图象交于，两点，若轴，则四边形的面积为 ．
3．函数满足，且，均大于，，则的最小值为 ．
4．设，则的定义域为 ．y＝lgax
a>1
00；
当0