新高考数学一轮复习考点题型训练 2.6对数和对数函数（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)；④＝eq \f(n,m)lgaM.
(2)对数的性质
①＝__N__；②lgaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) (a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
3．对数函数的图象与性质
【题型精讲】
【题型一 对数的运算】
必备技巧 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
例1 （2022·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)；
(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3－2＋103lg3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
例2 （2022·内蒙古包头市·高三月考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3 （2022·贵州遵义·高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．（2022·浙江高三月考）化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
2．（2022·安徽·安庆市高三期末）已知，，用，表示，则（ ）
A．B．C．D．
【题型二 对数函数的图象】
必备技巧 对数型函数的图象问题
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例4 （2022·四川高三开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
例5 （2022·浙江高三课时练习）如图所示，曲线是对数函数y＝lgax的图象，已知a取eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) B.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5) C.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) D.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5)
例6 （2022·浙江高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. （2022·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
2. （2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．
【题型三 对数函数的性质】
必备技巧 对数函数的性质
(1)利用对数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
例7 （2022·四川自贡高三月考）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例8 （1）（2022·上海高三课时练习）函数的值域为_________．
（2）（2022·重庆高三期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
例9 （1）（2022·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高三期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．或
（3）（2022·运城市新康国际实验学校高三开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. （2022·河北邯郸市高三月考）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·榆林市第十中学高三期中）函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
3. （2022·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．
4. （2022·合肥市第六中学高三期中）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型四 对数比较大小】
例10 （2022·广东中山·高三期末）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例11 （2022·辽宁高三模拟）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．（2022·安徽高三月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2. （2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3. （2022·浙江高三模拟）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五 对数函数综合问题】
必备技巧 对数函数的综合问题
(1)有关对数复合函数的单调性、值域问题．
(2)有关对数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．
(3)有关对数型函数对应的方程有解问题．
例12 （2022·潍坊高三月考）已知函数（且）．
（1）当时，解不等式；
（2），，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
【题型精练】
1．（2022·淄博高三月考）函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）试判断不动点的个数，并给予证明；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
a>1
00
当0