第04讲 指数与指数函数（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第04讲 指数与指数函数（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共3页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质
知识点3 底数对指数函数图象的影响
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型1 根式与指数幂的运算
\l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式
\l "__x0001_题型10 集合的新定义问题" 题型3 指数函数的定点问题
\l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型4 指数函数的图象问题
\l "__x0001_题型10 集合的新定义问题" 题型5 指数函数的单调性
\l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型6 指数函数的值域（最值）
【方法技巧】复合函数单调性的判断方法
"file/G:\\2027·一轮（样张）\\第04讲%20指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）（解析版）.dcx" \l "__x0001_题型10 集合的新定义问题" 题型7 根据指数函数的最值求参数
"file:///G:\\2027·一轮（样张）\\第04讲%20指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）（解析版）.dcx" \l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型8 比较指数幂大小
【方法技巧】比较指数幂大小的方法
"file:///G:\\2027·学科网一轮（样张）\\第04讲%20指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）（解析版）.dcx" \l "__x0001_题型10 集合的新定义问题" 题型9 解指数不等式
"file:///G:\\2027·学科网一轮（样张）\\第04讲%20指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）（解析版）.dcx" \l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型10 指数应用题
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 指数与指数幂的运算
1．根式
（1）次方根的概念与性质
（2）根式的概念与性质
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数，均有下面的运算性质：
；；.
自主检测（多选）下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A：由，故A正确；对于B：由，故B正确；
对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则，如，故C错误；
对于D：由，故D正确.
故选：ABD
\l "_Tc25045" 知识点2 指数函数的图象和性质
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
知识点3 底数 \l "_Tc25045" 对指数函数图象的影响
函数和的图象如图所示
观察上图，有如下结论.
当且时，底数越大，图象越“陡”；
当且时，底数越小，图象越“陡”.
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.
必记结论
1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),−1,1a.
2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分
a>1与01>a>b>0.
自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是____________．
【答案】
【详解】当时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象限；当时，满足条件，如图2，所以，得．
题●型●破●译
题型1 根式与指数幂的运算
例1-1（25-26高三上·云南曲靖·开学）已知，则的分数指数幂形式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】．
故选：A
例1-2计算：（ ）
A．0B．1C．100D．5
【答案】C
【详解】原式．
故选：C
例1-3（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，求的值____________．
【答案】
【详解】由，则，即，
，又，则，故，故.
故答案为：
【变式训练1-1·变考法】设，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得①；由得②．得，得．
【变式训练1-2·变考法】（多选）已知，下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确．
故选：ACD
【变式训练1-3·变载体】设函数（且），如果，那么的值等于（ ）
A．32B．64C．16D．8
【答案】B
【详解】由题意可得．故．
故选：B
【变式训练1-4】____________．
【答案】
【详解】原式.
故答案为：.
题型2 指数函数的概念、定义域及解析式
例2-1（25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（ ）
A．B．1C．D．1或
【答案】A
【详解】因为函数是指数函数，所以且，
即且，解得.
故选：A.
例2-2函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
例2-3（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数的图象经过点____________．
【答案】81
【详解】设指数函数，且，
因为指数函数的图象经过点，则，即，可得，
则，所以.
故答案为：81.
【变式训练2-1】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域满足，解得且．则函数定义域为，
故选：D
【变式训练2-2·变考法】（24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则，
∴.
故选：A.
【变式训练2-3】已知指数函数，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由已知且，解得且，所以的范围是.
故答案为：
【变式训练2-4】函数的定义域是____________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则，变形可得，因为指数函数在上单调递增，则，解得，故函数的定义域是.
故答案为：.
题型3 指数函数的定点问题
例3-1函数的图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，解得，且，故函数的图象恒过定点．
故选：C
例3-2【新思维】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．
【答案】C
【详解】过定点，所以，
因为点在函数的图象上，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为4.
故选：C
【变式训练3-1·变设问】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D
【变式训练3-2·变考法】（25-26高三上·上海奉贤·开学）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为____________．
【答案】
【详解】易知函数的图象是由指数函数向下平移两个单位得到的，
又因为函数恒过定点，
所以函数的图象恒过定点.
【变式训练3-3·原创题】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________．
【答案】
【详解】因为且，，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
所以点P的坐标为.
【变式训练3-4·变考法】（25-26高三上·四川成都·开学）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【详解】因为函数的图象恒过定点，所以.
又A点在直线上，所以，即，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为2.
题型4 指数函数的图象问题
例4-1（25-26高三上·江苏连云港·开学）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误；
当时，，得，故D正确，C错误.
故选：BD
例4-2函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数中，，即，解得，
函数定义域为，，
函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足；
当时，，选项D不满足，B符合题意.
故选：B
【变式训练4-1·变方向】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由的图象可知，由知，
所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上.
故选：C.
【变式训练4-2·变考法】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示．
令，若，则；若，则；若，则．
【变式训练4-3·变载体】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【详解】由函数过原点可知，即可得，即；
又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数，
当时，趋近于0，所以函数趋近于,因此可得，所以；
即.
故选：D
【变式训练4-4·变方向】．（25-26高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得，
由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意；
B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意；
C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意；
D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意；
故选：BD.
【变式训练4-5·变角度】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度，得到函数表达式为，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象的函数表达式为，
因为图象与重合，所以，即，解得，.
故选：C
题型5 指数函数的单调性
例5-1（2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，在上先减后增，不合题意.
对于B，为上的减函数，不合题意.
对于C，在上先减后增，不合题意.
对于D，为上的增函数，符合题意.
例5-2 【新角度】(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝exex＋1－12,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ）
A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增
C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减
【解析】选B.f(x)的定义域为R,f(x)＝ex−12(ex＋1),则f(－x)＝e−x−12(e−x＋1)＝－ex−12(ex＋1)＝－f(x),
故f(x)是奇函数.由于f(x)＝exex＋1－12＝12－1ex＋1,函数y＝ex＋1单调递增,
故f(x)在R上单调递增.
故选:B.
例5-3已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递减，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
当时，，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递增，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
综上可得a的取值范围是或，
故选：A.
例5-4函数的减区间是____________．
【答案】
【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是．
故答案为：
方法技巧 复合函数的单调性判断方法
①确定函数的定义域；
②将复合函数分解成两个简单函数:与；
③分别确定分解成的两个函数的单调性；
④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；
若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数；
【变式训练5-1·变考法】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，由题意知，在上单调递减，且在上恒成立.
所以，解得.a的取值范围是.
故选D.
【变式训练5-2·变考法】（2026·江苏南京·学情调研）已知，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，不妨设，则，
所以，函数在上为减函数，
又因为，则，解得.
故选：D.
【变式训练5-3】函数的单调递增区间是____________．
【答案】或
【详解】函数，令， 则在上单调递增，在上单调递减，由的，而在上单调递增，
所以的单调递增区间是或.
故答案为：或.
【变式训练5-4·变设问】（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数____________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】根据是定义在上的增函数，再结合题意，可以令，则，满足题意
（答案不唯一，可以是）.
题型6 指数函数的值域（最值）
例6-1【新设问】（2026·江辽宁沈阳·模拟）已知，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则，因为在上单调递增，
所以，又单调递减，且，所以，即的值域是.
故选：B.
例6-2函数（ ）
A．有最大值，也有最小值B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，也没有最小值
【答案】B
【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解.
【详解】因为函数，设，
当函数单调递减，当函数单调递增，
所以当时，函数取最小值，函数无最大值.
故选：B.
例6-3（25-26高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）的减区间为，增区间为
（2）
【详解】（1），在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为.
（2）令，则，则，即的值域为.
【变式训练6-1·变考法】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，因为函数在上单调递增，
所以，此时；
当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数，
故，即在上的值域为.
综上所述，函数的值域为.
故选：A.
【变式训练6-2·载体】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数B．恰有2个单调区间
C．的最小值为D．值域是
【答案】ABD
【详解】根据题意，设
对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确；
对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确；
对于C，由于，则，不存在最小值，C错误；
对于D，，则，则的值域为，D正确．
故选：ABD
【变式训练6-3·变考法】函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ．
【答案】 ；
【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以．
故答案为： ；
【变式训练6-4】已知函数是奇函数，为实数．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）函数是奇函数，则，解得，
当时，，
为奇函数，所以的值为2．
（2）由（1）知函数，由是上的增函数，可得为上的减函数，
所以在上是增函数，可得，
即，故函数的值域为．
题型7 根据指数函数的最值求参数
例7-1【新角度】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的值域为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【详解】由和是增函数可知，
所以的值域为，所以，可得.
故选：D.
例7-2函数的定义域为，值域为，则的最大值为____________．
【答案】
【详解】函数
作出函数的图象如图所示，
令，解得或，因为函数的定义域为，值域为，
由图象可得，的最大值为．
故答案为：．
【变式训练7-1·变考法】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，，则有解，
当时，有最大值，则有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，无最大值，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
【变式训练7-2·变考法】（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】当时，，则函数在上的值域为．
因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含，
所以解得．
故实数a的取值范围是．
故答案为：
【变式训练7-3·变考法】若函数的值域是，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由于的值域是，令，则要能取遍所有的值，
，因此，故
故答案为：
故答案为：
题型8 比较指数幂大小
例8-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，则.
故选：C
例8-2（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，即，
又因为对数函数在上单调递减，所以，即，所以.
故选：C
例8-3（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，则．
令，则，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
则，则，即．故．
故选：B
方法技巧 比较指数幂大小的方法
（1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．
（2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．
（3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．
【变式训练8-1】已知实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A：当，则，错；B：当，则，错；
C：当，有；当，有；当，有，对；
D：由在定义域上单调递减，则，错.
故选：C.
【变式训练8-2】下列大小关系正确的是（ ）
①， ②， ③， ④．
A．①②B．③④C．②③D．①③
【答案】C
【详解】对于①，因为指数函数单调递减，所以，①错误．对于②，因为指数函数单调递减，所以；又因为幂函数在上单调递增，所以，所以，②正确对于③，因为幂函数在上单调递增．所以，③正确．对于④，因为幂函数在上单调递减，所以，即，④错误．
【变式训练8-3】设，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即；
因为对数函数在上单调递增，所以，即；
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
所以，即.
故选：B.
【变式训练8-4】（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数是减函数，所以，即；
因为函数是减函数，所以，即；
，
，所以.
函数是减函数，所以，即.
所以.
题型9 解指数不等式
例9-1已知不等式成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】 ，即 ，即
，故不等式的解集为 ，
故选：D.
例9-2【新思维】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，
得的图象关于直线对称，
设，则，
因为在上单调递增，且在上单调递增，
所以在上单调递增，由，可得，
所以，整理得，解得或．
故选：D
例9-3（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，即时，，故满足题意；
当时，即时，令，则+1在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又，
所以由可得，解得，又，故.
综上，实数a的取值范围为.
故选：A
【变式训练9-1·变考法】（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题设，又，所以.
故选：A
【变式训练9-2·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数，定义域为.
易知函数只含项，
因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大，
所以在上单调递减，在上单调递增.
等价于离的距离小于离的距离大小问题，
即.两边平方得；
整理得，解得.
故的取值范围为.
故选：B
【变式训练9-3·变题型】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意，得，，
则，所以函数为奇函数，
又，
由于在上单调递增，且，故在上单调递增，
由，则，
即，解得，则的取值范围为.
故选：A
【变式训练9-4·变考法】（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可.
【详解】已知函数，则，
是奇函数，
是增函数，是增函数，是增函数，
因为，，即，
是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是.
故答案为：
【变式训练9-5·变考法】（25-26高三上·广东广州·开学）已知函数且为奇函数.
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）解不等式；
【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数，
则，解得，所以，
则，所以满足题意，
又，所以，则，所以函数的值域为.
（2）由（1）知，由，得到，
整理得到，解得，所以不等式的解集为.
题型10 指数应用题
例10-1预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）
A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内，则这期间人口数不变
【答案】C
【分析】根据公式，结合的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可.
【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确；
当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误；
时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确.
故选：C.
例10-2（25-26高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，，解得．．
【变式训练10-1·变情境】（25-26高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ）
A．8毫米B．16毫米C．32毫米D．64毫米
【答案】C
【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2倍，所以进行4次变焦后，
则画面中月亮的直径是（毫米）.
故选：C.
【变式训练10-2·变情境】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，，当时，，即.
所以当时，，
即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为.
故选：A.
【变式训练10-3·变情境】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题知，，，所以，可得，
再经过分钟后，该物体的温度为，
即该物体的温度为．
故选：C．
【变式训练10-4·变题型】“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，）
【答案】
【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米，
木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，，
以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米，
由题意可得，可得，
所以，，
所以，，则，故至少需要天.
故答案为：.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2025·新高考Ⅰ卷·高考真题）若2＋lg2x＝3＋lg3y＝5＋lg5z,则x,y,z的大小关系不可能为（ ）
A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x
【解析】选B.设2＋lg2x＝3＋lg3y＝5＋lg5z＝m,所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝13,z＝5－3＝1125,此时x>y>z,A有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,此时y>z>x,D有可能.
故选：B.
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，故可排除D.
故选：B.
4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为在上递增，且，所以，
所以，即，因为在上递增，且，
所以，即，所以，
故选：D
5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
6. （2026·全国 = 2 \* ROMAN II卷·高考真题）函数有两个零点，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】由，当且仅当，即时取等号，记，则，图象关于直线对称，切当时，，在处取唯一的最小值4，所以有两个不同实根，所以.
故答案为：
7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【详解】函数，所以.
故答案为：1
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.设，则下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D.【详解】根据幂的运算性质可得：，故A错误；
，故B错误；，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查指数幂的基本运算，属简单题
2.设，m，n是正整数，且，则下列各式
，，，
正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【详解】∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴，正确，
显然，正确，而，∴正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分数指数幂的与根式的转换，属简单题
3.（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查含有字母形式的指数幂的运算及转换应用，属基础题。
4．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
（2）函数的图象如下：
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）设.把代入得，
，解得，为可能的解析式；
（2）设，将代入，得，解得，
∴为一个可能的解析式．
【点睛】本题考查函数解析式的的求法，属基础题
5．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【答案】（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.
【解析】（1）由题意知，，，，
∴，图象如图：
（2）∵，∴，
为偶函数，又，
∴在上为减函数，在上为增函数．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法、图象的画法，考查学生分析解决问题能力，属基础题
6．已知，g（x）=（a > 0，且a ≠ 1）.
（1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性；
（2）如果f（x）< g（x），那么x的取值范围是多少？
【答案】（1）答案见解析；（2）当a > 1时，x的取值范围是；当0 < a < 1时，x的取值范围是.
【详解】（1）当a > 1时，f （x）=ax是R上的增函数，
由于0 1，所以g（x）=是R上的增函数；
（2），
当a > 1时，x < 0；当0 < a < 1时，x > 0.
∴当a > 1时，x的取值范围是；
当0 < a < 1时，x的取值范围是.
【点睛】本题考查指数函数的单调性的判定与证明，同时考查指数不等式的求解方法，属中档题。
核心考点
2026年
2025年
2024年
指数函数的图象
全国甲卷T8（5分）
指数函数的性质
全国高考 = 2 \* ROMAN II卷T13（5分）
新高考 = 1 \* ROMAN I卷T8（5分）
考情分析
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分
近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。
复习目标
1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
4.能结合指数函数比较指数式大小.
次
方
根
概念
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.
性质
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
根
式
概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
性质
①.
②当为奇数时，.
③当为偶数时，.
图象
性质
定义域
值域
最值
无最值
过定点
过定点，即时，
函数值
的变化
当时，；
当时，
当时，；
当时，
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
与的图象关于轴对称
x
0
1
2
3.50
4.20
5.04