第05讲 对数与对数函数（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 对数与对数运算 知识点2 对数函数的图象及其性质
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型1 对数与对数运算 \l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型2 换底公式的应用
\l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型3 对数函数的概念、定义域和解析式 \l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型4 对数型函数过定点问题
\l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型5 对数函数的图象 \l "__x0001_题型1 元素与集合的关系" 题型6 对数（型）函数的单调性
【方法技巧】对数函数图象的识别及应用方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型7 利用对数（型）函数的单调性求参数数
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型8 对数函数的最值（值域）
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型9 根据对数型函数最值（值域）求参数数
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型10 比较对数大小
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型11 解对数方程及不等式
【方法技巧】解对数不等式的两种类型及方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型12 对数函数性质的综合应用
【方法技巧】对数函数性质的综合应用求解策略
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型13 指（对）函数的实际应用
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型14 反函数
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
（2）对数式与指数式的互化：.
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数______.
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即；（2）底数的对数等于1，即；
（3）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：（1）；
（2）； （3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式的变形及推广：
（1）；（2）；
自主检测（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
\l "_Tc25045" 知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
必记结论
底数对对数函数函数图象的影响
(1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当时，对数函数的图象“上升”；
当时，对数函数的图象“下降”.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
= 1 \* GB3 ①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴；
= 2 \* GB3 ②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
自主检测（多选）已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则 B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是
思维拓展
拓展1 与对数函数有关的函数定义域
(1)对数函数的定义域为
(2)形如的函数，定义域由 来确定.
(3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.
拓展2 与对数函数有关的函数值域
(1)对数函数的值域利用函数的单调性求解.
(2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域.
(3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.
拓展3 与对数函数有关的函数单调性
对数型复合函数一般分为两类：型和型.
(1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可.
(2)对于 型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减.
拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性
由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如：
(1)函数和函数均为奇函数.
(2)函数是奇函数.
(3)函数是偶函数.
题●型●破●译
题型1 对数与对数运算
例1-1若 则 （ ）
A．1 B． C． D．2
例1-2（2026·新疆喀什·模拟）已知，，且，则（ ）
A．3B．2C．D．
例1-3（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则____________.
方法技巧 对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
（2）对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】已知，且，则（ ）
A．2或8B．或8C．8D．64
【变式训练1-2·变考法】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-3】计算的值为____________.
【变式训练1-4】方程的解集为____________.
题型2 换底公式的应用
例2-1已知，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2若，则的值为 .
【变式训练2-1】若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【变式训练2-2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-3·变题型】．（2026·浙江杭州·3月质检）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“”的否定为“” B．“”是“”的必要条件
C．若，则 D．
题型3 对数函数的概念、定义域和解析式
例3-1（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A． B．C．D．
例3-2函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例3-3已知对数函数过点，则的解析式为___________；在的最大值是___________．
【变式训练3-1】已知，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．B．2C．1D．
【变式训练3-3·变载体】（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________.
【变式训练3-4·原创题】已知函数是对数函数，则__________．
【变式训练3-5·变考法】定义在R上的奇函数，当时，，则____________.
题型4 对数型函数图象过定点问题
例4-1函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
例4-2函数，且恒过点，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式训练4-1·变考法】已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．
【变式训练4-2·变设问】函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______．
题型5 对数函数的图象
例5-1函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
例5-2已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．D．
例5-3【新思维】（多选）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（ ）
A．是函数的图象B．是函数的图象
C．是函数的图象D．是函数的图象
方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2·变考法】如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练5-3·变载体】已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为____________.
【变式训练5-4变考法】已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型6 对数（型）函数的单调性
例6-1函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
例6-2函数的单调递减区间（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-1·变考法】对于实数，“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练6-2变考法】（多选）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在上单调递减D．在上单调递增
【变式训练6-3变考法】函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是____________.
【变式训练6-4·变考法】的单调递减区间为____________.
题型7 利用对数（型）函数的单调性求参数
例7-1已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-2（函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-3（【新载体】多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-1变考法】“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-3·变载体】已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-4变角度】已知函数对任意的，都满足，则实数a的取值范围是____________.
题型8 对数函数的最值（值域）
例8-1函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例8-2【新思维】已知函数，则函数的最小值为（ ）
A．-1B．1C．D．
【变式训练8-1变考法】函数的最小值为 .
【变式训练8-2变考法】（多选）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．没有最小值
【变式训练8-3变考法】已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
(1)求函数解析式；
(2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值；
题型9 根据对数型函数的最值（值域）求参数
例9-1【新思维】已知函数且在上的值域为，则（ ）
A．4B．2C．D．
例9-2【新角度】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1·变考法】已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-2】已知函数且的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-3】已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-4·变考法】已知函数在上的最小值是1，则____________.
【变式训练9-5·变载体】（2026安徽合肥·模式）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是____________.
题型10 比较对数的大小
例10-1已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例10-2【新思维】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-1】设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-3·变载体】已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练10-4·变角度】三个数的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-5·变考法】函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型11 解对数方程及不等式
例11-1若实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例11-2（2026·陕西西安·模拟）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例11-3解不等式：
（1）；
（2）（且）．
方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法
【变式训练11-1】不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11-2】若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练11-3】（2026·江苏苏州·阶段考试）设函数，则满足的的取值范围是__________.
【变式训练11-4变载体】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知是奇函数，则不等式的解集是____________.
【变式训练11-5·变角度】设函数，若且，则的取值范围为__________．
题型12 对数函数性质的综合应用
例12-1（2026·河北保定·阶段检测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的单调递增区间是B．函数的值域是
C．函数的图象关于对称D．不等式的解集是
例12-2【新思维】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
例12-3已知函数，且．
(1)证明：是奇函数；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
方法技巧 对数函数性质的综合应用求解策略
1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．
若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．
复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．
2.对称性：
若，则图象关于直线对称；
若，则图象关于点对称．
【变式训练12-1变考法】（2026·河南郑州·模拟检测）（多选题）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称D．在上单调递增
【变式训练12-2变载体】（2026·湖南长沙·模拟）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练12-3】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练12-4】已知函数方程有四个不相等的实数根，则的取值范围为_______________.
题型13 指（对）函数的实际应用
例13【新情境】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【变式训练13-1·变情境】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．33B．34C．35D．36
【变式训练13-2·变考法】数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则 ， .
题型14 反函数
例14-1函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
例14-2若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．B．C．D．9
【变式训练14-1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于（ ）
A．lg2x B． eq \f(1,2x) C．lg eq \s\d9(\f(1,2))x D．2x-2
【变式训练14-2】已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值．
【变式训练14-3·变考法】（多选）（2026·江苏南京·3月检测）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A． B．
C．D．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. （2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则____________.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2.使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．，且
3.已知与互为相反数，则（ ）
A．B．C．D．
4．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（ ）
A．B．
C．D．
5.已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
7．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
8．比较下列各题中三个值的大小：
（1）；
（2）.
9．已知，，，求实数a的取值范围.
10．声强级（单位：dB）由公式
给出，其中I为声强（单位：）.
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
（2）平时常人交谈时的声强约为，求其声强级.
11．已知函数，（，且）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
12．如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成.
（1）写出函数的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.
核心考点
2026年
2025年
2024年
对数函数的单调性
全国I卷T8（5分）
全国I卷T6（5分）
对数函数的性质应用
全国Ⅱ卷T8（5分）
考情分析
对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，主要考查对数函数及其图象和性质，以选择题、填空题为主，分值5分，难度中档。
近三年考情显示，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考查.
复习目标
1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成
自然对数或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系
底数
图象
性质
定义域
值域
定点
函数图象恒过点，即时，.
函数值的正负
当 时，；
当时，
当时，；
当时，
单调性
在上为增函数
在上为减函数
对称性
函数与的图象关于轴对称.
类型
方法
lgax＞lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
lgax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解