新高考数学一轮复习讲练测第04讲 指数与指数函数（四大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【解题方法总结】
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
题型二：指数函数的图像及性质
【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ）
A．8B．24C．4D．6
【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【解题总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【对点训练18】（2023·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
【例4】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练19】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
【对点训练20】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
【对点训练21】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
【对点训练22】（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数，满足，，则__________．
【对点训练23】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数