第2讲 二次函数y=a（x+m）²+h的图象和性质【暑假预习讲义】2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 y=a(x+m)2+ℎ 的图象与性质，能准确指出开口方向、对称轴和顶点坐标。
掌握 由 y=ax2 通过平移得到 y=a(x+m)2+ℎ 的规律（左加右减，上加下减）。
熟练运用 顶点式求最值、判断增减性，并能利用对称性比较函数值大小。
理解 抛物线关于坐标轴对称的变换规律，能写出对称后的解析式。
体会 数形结合、化归与转化（配方法）的思想，能应用顶点式解决简单的实际问题。
✨ 核心思想：从“顶点”出发，把握抛物线的核心要素，理解平移的本质。
知识梳理 · 核心知识点
☆1. 二次函数 y=a(x+m)²+h 的图象
顶点式： y=a(x+m)2+ℎ（a≠0）
·顶点坐标： (−m,h)
·对称轴： 直线 x=−m
·开口方向： 由 a 决定
a>0 → 开口向上，顶点为最低点
→ 开口向下，顶点为最高点
·开口大小： 由 ∣a∣ 决定，∣a∣ 越大开口越窄。
·最值：
若 a>0，当 x=−m 时，y 取最小值 h；
若 ，当 x=−m 时，y 取最大值 h。
·增减性：
当 a>0，对称轴左侧（）递减，右侧递增；
当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。

分析：二次函数 y=12x2、y=12x2+2、y=12x2−2 的图像
画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 y=12x2、y=12x2+2 和 y=12x2−2 的图像。
通过列表、描点和连线，分别画出函数 y=12x2、y=12x2+2 和 y=12x2−2 的图像，如图 所示。

图例说明（对应图像中的曲线）：
曲线 1：y=12x2+2（顶点在 (0, 2)）
曲线 2：y=12x2（顶点在原点 (0, 0)）
曲线 3：y=12x2−2（顶点在 (0, -2)）
三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 y 轴方向进行了上下平移。
☆2. 平移规律（由 y=ax² 到顶点式）
左右平移： “左加右减” — 向左平移 ∣m∣ 个单位，x 变为 x+m（m>0 左移）；向右平移则 x 变为 x−m。
上下平移： “上加下减” — 向上平移 ∣ℎ∣ 个单位，整体加 ℎ（ℎ>0 上移）；向下平移则整体减 ℎ。
一般规律： 抛物线 y=ax2 的顶点 (0,0) 平移到顶点 (−m,ℎ)，平移方向由 m、ℎ 的符号决定。
上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？
抛物线 y=12x2+2，y=12x2−2 与抛物线 y=12x2 分别有什么关系？
观察图像可以发现，将抛物线 y=12x2 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线y=12x2+2。抛物线 y=12x2+2 的对称轴仍为 y 轴，顶点为 (0,2)。
类似地，抛物线 y=12x2−2 可由抛物线 y=12x2 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 y 轴，顶点为 (0,−2)。
观察结论：y=12x2+k 的图像可由 y=12x2 的图像向上（k>0）或向下（）平移 ∣k∣ 个单位得到。
☆3. 关于坐标轴对称的变换
☆4. 知识总结表
核心考点 ·经典题型方法精讲
【考点1】二次函数 y=a(x+m)2+ℎ 的图象（第1-14题）
※ 方法总结
画图步骤： 确定顶点坐标 → 列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接。
开口方向与大小： 由 a 决定，a>0 向上， 向下；∣a∣ 越大开口越窄。
顶点与对称轴： 直接由顶点式读出顶点 (−m,ℎ) 和对称轴 x=−m。
与坐标轴交点： 令 x=0 求与 y 轴交点；令 y=0 解方程求与 x 轴交点。
图象共存问题： 注意一次函数与二次函数中系数符号的一致性，分类讨论。
1．（2025秋•宁明县校级月考）在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
2．（2025秋•厦门校级月考）在平面直角坐标系中画出y＝（x﹣1）2﹣3的图象．
3．（2025春•丰城市校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=14x2−1的图．
（1）补充表格中的y值；
（2）在坐标系中画出y=14x2−1图象．
4．（2020春•同步）写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象．
（1）y=−14x2+3
（2）y=12x2﹣4
（3）y＝7（x−34）2
（4）y=−12（x+2）2
5．（2026•泸县一模）已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝2
C．最小值为1
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
6．（2025秋•长春期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+3的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025秋•安次区期末）若a＞0，c＜0，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025秋•邻水县期末）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025秋•忠县期末）下列函数的图象中，与y＝3（x﹣2）2的函数图象形状一致的是（ ）
A．y＝3x2B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2D．y＝3（x﹣3）
10．（2025秋•阜平县期末）下列图象可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为 ．
12．（2025秋•澧县期末）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
13．（2025秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝a（x﹣1）2+k的部分图象如图所示，则a+k＝ ．
14．（2025秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）．
（1）当a＝2时，
①该抛物线的对称轴为 ；
②点A（1，m）和B（3，n）是抛物线上的两点，比较m和n的大小关系，并说明理由；
（2）如果点M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，且对于x1＝3a，6＜x2＜7，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【考点2】二次函数 y=a(x+m)2+h 的性质（第15-34题）
※ 方法总结
最值： 开口向上有最小值 ℎ（在 x=−m 取得），开口向下有最大值 ℎ。
增减性： 根据对称轴和开口方向判断：向上时“左减右增”，向下时“左增右减”。
比较函数值大小： 利用开口方向和点到对称轴的距离：开口向上时，距对称轴越近函数值越小；开口向下时，距对称轴越近函数值越大。
含参数问题： 利用对称轴、最值等建立方程或不等式求解。
新定义问题： 如“最小/最大”符号定义，需转化为不等式组或方程求解。
15．（2026•和平区校级三模）二次函数y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（2，5）B．（2，﹣5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣2，5）
16．（2026•湖里区三模）已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（ ）
A．B．C．D．
17．（2026•莆田模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx经过A（m，y1），B（﹣1，y2），当﹣1≤m≤3时，总有y1≥y2，则b的值不可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．（2026•天长市二模）已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2026•柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，3）
D．x＞1时，y随x增大而增大
20．（2026•湖北模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
21．（2026•肥东县校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝cx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2026•海安市校级二模）二次函数y＝a（x﹣1）2+6，当x＜1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值 ．
23．（2026•上海校级模拟）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”）
24．（2026•姜堰区一模）二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为 ．
25．（2026•太和县一模）抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝ ．
26．（2025秋•东明县期末）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
27．（2025秋•庐阳区校级期末）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）2+k交y轴于点E（0，4）．
（1）此抛物线的对称轴为直线 ；
（2）已知正方形ABCD边AB与x轴重合，点A的坐标为（8，0），AB＝2，若此抛物线与正方形的边CD有交点，则a的取值范围是 ．
28．（2025秋•丰南区期末）如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是 ．
29．（2025秋•贵阳期末）二次函数y＝﹣x2+2x﹣1，当自变量2≤x≤4时，函数的最大值为 ．
30．（2025秋•青浦区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是 ．
31．（2025秋•万荣县期末）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝3（x﹣1）2+k图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＜”连接）．
32．（2025秋•墨玉县月考）已知函数y=−12(x+1)2−2．
（1）指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ；
（2）当x 时，y随x的增大而增大；
（3）怎样移动抛物线y=−12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−2．
33．（2025秋•西湖区校级月考）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．
例如：min{−1，2，3}=−1，max{−1，2，3}=3；min{−1，2，a}=a(a≤−1)−1(a＞−1)．
（1）min{﹣2024，﹣2025，﹣2026}＝ ；max{2，x2+2，2x}＝ ；
（2）若min{2，2x﹣1，﹣3x}＝﹣3x，求x的取值范围；
（3）若min{4x，4x+2，x2+5}＝max{2，4﹣2x，﹣x2﹣1}，求x的值．
34．（2025秋•魏县期中）如图，抛物线l：y=−12(x−52)2+k与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值，并直接写出l在x轴上方的图象x的取值范围；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，在胶片上描画出点B及l的一段，分别记为B′，l′，平移胶片，使B′与点A重合，求平移后l′的表达式．
【考点3】二次函数的平移与对称（第35-42题）
※ 方法总结
平移规律： “左加右减，上加下减” — 对 x 的平移改变括号内，对整体的平移改变常数项。
关于坐标轴对称：
关于 x 轴对称：a 和 ℎ 变号，m 不变；
关于 y 轴对称：m 变号，a、ℎ 不变；
关于原点对称：a、m、ℎ 均变号。
中心对称： 关于原点成中心对称，顶点对称，开口反向。
35．（2025秋•贺兰县校级月考）若将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为 ．
36．（2026•巴彦县二模）把抛物线y=12x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12(x−1)2+2B．y=12(x−1)2−2
C．y=12(x+1)2+2D．y=12(x+1)2−2
37．（2026•东台市三模）将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2D．y＝2（x+3）2﹣2
38．（2025秋•凉州区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）m＝ ；将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式为 ；
（2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象；
（3）填空：
①当x＜n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是 ；
②直接写出原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为 ．
39．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．求：
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为 ；
（3）与此抛物线关于原点对称的抛物线表达式为 ．
40．（2024•凉州区二模）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，则抛物线C2的解析式为 ．
41．（2026•宁波模拟）同一平面直角坐标系中，抛物线y=(x−12)2+(x−32)2与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，则代数式（m+2）2+（n+2）2的值为 ．
42．（2025•灞桥区校级模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（ ）
A．72或﹣1B．1C．﹣1D．﹣1或﹣3
【考点4】二次函数综合应用（第43-45题）
※ 方法总结
实际问题建模： 如投篮、喷水等，根据题意建立坐标系，利用顶点式求解析式。
利用图象解不等式： 观察图象在 x 轴上方（>0）或下方（0）的图象（顶点在 y 轴正半轴）。
练习2 — 比较 y=3(x−1)2+5 图象上三点函数值大小（利用对称性）。
练习3 — 抛物线 y=3x2 向左平移2个单位，再向上平移5个单位后的解析式（平移规律）。
练习4 — 已知抛物线 y=x2−2x−1，求关于 x 轴、y 轴对称的解析式（对称变换）。
【练习1】（2025•深圳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（ ）
A．B．
C．D．
【练习2】（2024春•同步）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5图象上的三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
【练习3】（2025秋•新会区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2﹣5B．y＝3（x+5）2+2
C．y＝3（x﹣2）2+5D．y＝3（x+2）2+5
【练习4】已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为 ．
六．课后巩固（共8小题）
【作业1】（2026•南岗区校级二模）已知抛物线的解析式为y=12(x−2)2+1，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
【作业2】（2026•增城区二模）对于抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴无交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝2时，y有最小值﹣1
D．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
【作业3】（2026•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（1，1），（4，1）．若二次函数y＝（x﹣b）2+b﹣2的图象与线段AB有交点，则该抛物线与y轴交点的纵坐标n的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n≤6B．﹣2≤n≤10C．−52≤n≤9D．−94≤n≤10
【作业4】（2026春•鼓楼区校级月考）已知点A（2，y1）、B（2，y2）、C（﹣5，y3）在抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣k，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【作业5】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为 ．
【作业6】（2025秋•广信区期末）已知二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣5，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【作业7】（2025秋•运河区校级期末）如图，已知点Q（8，0），抛物线L：y=12(x−ℎ)2−4(ℎ≠−1)的顶点为P，与y轴交于点M，点N（﹣1，n）在L上，作直线PN与y轴交于点A．
（1）若点P在第三象限，且n＝4．
①求点P的坐标；
②当﹣8≤x≤﹣3时，求y的最大值和最小值；
（2）若N为线段AP的中点，求AM的长；
（3）当线段OQ被L只分为两部分，且两部分的比为1：7时，直接写出h的值．
【作业8】（2025秋•望花区月考）为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
对称方式
变换后解析式
顶点
对称轴
开口方向
关于 x 轴对称
y=−a(x+m)2−h
(−m,−h)
x=−m
反向
关于 y 轴对称
y=a(x−m)2+h
(m,h)
x=m
不变
关于原点对称
y=−a(x−m)2−h
(m,−h)
x=m
反向
核心概念
表达式
顶点
对称轴
开口方向
顶点式
y=a(x+m)2+h
(−m,h)
x=−m
a>0 向上， 向下
平移规律
左加右减，上加下减
顶点从原点平移到 (−m,h)
—
—
关于x轴对称
y=−a(x+m)2−h
(−m,−h)
x=−m
反向
关于y轴对称
y=a(x−m)2+h
(m,h)
x=m
不变
关于原点对称
y=−a(x−m)2−h
(m,−h)
x=m
反向
x
…
﹣4
﹣2
0
2
4
…
y=14x2−1
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
m
0
3
…
主题
研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备
1．确定研究对象．
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是运动员投篮示意图，信息如下：
1．运动员距离篮下4m处起跳投篮．
2．篮球运行路线是抛物线．
3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．
4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案
小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时，可以确定点B坐标为（2.5，3.5），点C的坐标为（4，3.05）．
确定思路
通过建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进一步解决实际问题．因为B是最高点，说明点B是抛物线的顶点，所以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）球出手时，运动员跳离地面的高度．
用图象法解一元二次不等式：﹣x2+2x+3＜0
方法如下：
步骤一：设y＝﹣x2+2x+3
步骤二：先将二次函数：y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，确定抛物线的顶点位置；
步骤三：列表
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…

3

3
0
…
步骤四：描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下）．
步骤五：观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．
所以﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3
主题
研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备
1．确定研究对象．
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是运动员投篮示意图，信息如下：
1．运动员距离篮下4m处起跳投篮：
2．篮球运行路线是抛物线；
3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．
4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案
小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点B，点C的坐标分别为（2.5，3.5），（4，3.05）．
确定思路
通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点B是最高点然后下降，说明点B是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）球出手时，运动员跳离地面的高度．