第4讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质(2)【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。
掌握 二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，能熟练运用配方法求顶点。
理解 二次函数图象的几何变换（平移、旋转）规律，掌握“左加右减、上加下减”的口诀。
熟练运用 待定系数法，根据已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点等）求二次函数解析式。
掌握 二次函数在给定区间上的最值问题，能结合图象分析参数对最值的影响。
体会 数形结合、分类讨论、方程思想在二次函数综合题中的应用。
✨ 核心思想：以“图象”为抓手，贯通“式”与“形”，灵活运用变换与待定系数法。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 二次函数的三种表达式
一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），适用于已知图象上任意三点的坐标。
顶点式：y=ax−ℎ2+k，顶点坐标为 ℎ,k，对称轴为 x=ℎ，适用于已知顶点坐标。
交点式（两根式）：y=ax−x1x−x2，其中 x1,x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，适用于已知与 x 轴交点。
☆ 二次函数的图象与性质
开口方向：由 a 决定。当 a>0 时，开口向上；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 y=k（顶点式）或 y=4ac−b24a；
当 a0 时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大；
当 a0）：抛物线形状如“U”，顶点在最低处，对称轴垂直通过顶点。
开口向下（a 0 )）
对称轴：直线 ( x = 1 )
顶点坐标：(1, -4)
变化规律：
在对称轴左侧（( x < 1 )），图像下降；
在对称轴右侧（( x > 1 )），图像上升。
最值：该图像有 最低点，坐标为(1, -4)。
3. 知识点总结
一般步骤：① 设出合适的函数表达式（一般式、顶点式、交点式）；② 将已知点的坐标代入，列出方程（组）；③ 解方程（组）求出待定系数；④ 写出解析式。
选用策略：
已知三点坐标 → 设一般式 y=ax2+bx+c；
已知顶点坐标 → 设顶点式 y=ax−ℎ2+k；
已知与 x 轴交点 → 设交点式 y=ax−x1x−x2。
注意：待定系数法体现了“方程思想”，是初中数学的重要方法。
☆ 二次函数的最值问题
无区间限制：直接利用顶点坐标求最值。
a>0 时，最小值 y=4ac−b24a；a0 向上，a0 最小值，a