第5讲 二次函数与一元二次方程【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。
掌握 二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。
理解 图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。
熟练运用 二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。
体会 数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。
✨ 核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。
知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1 确定二次函数的表达式
1．二次函数表达式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)
（2）顶点式：y=a(x+m)2+h(a、m、h为常数，且a≠0)·,
（3）交点式：y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴的交点的横坐标）.
求二次函数表达式的方法：待定系数法.
2．三点式求法
如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值.

图1 图2 图3

3．顶点式求法
如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为y=a(x+m)2+h(a≠0).此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值.
4．交点式求法
（1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0)及经过一点，可设二次函数表达式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，再列方程求解确定a的值；
（2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标(x1,0)、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，最后列方程求解确定a的值.
例 已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且抛物线经过点C(2,8)，求该抛物线的表达式.
解：方法一：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)
·抛物线过点A(-2,0）、B(1,0）、C(2,8)，a⋅(−2)2+b⋅(−2)，a⋅12+b⋅1+c=0,a⋅22+b⋅2+c=8。 解得a=2,b=2,c=−4。
抛物线的表达式为y=2x2+2x−4
方法二：设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，将点C(2,8)的坐标代入上式，解得a=2
抛物线的表达式为y=2(x+2)(x−1)=2x2+2x−4.
方法三：设抛物线的表达式为y=a(x+m)2+h(a≠0)
点A(-2,0）、B(1,0）关于直线x=−12对称，
.对称轴为直线x=−12,m=12,∴y=a(x+12)2+h,
将A(-2,0）、C(2,8）的坐标代入y=a(x+12)2+h，得
a(−2+12)2+h=0a(2+12)2+h=8.,解得a=2,h=−92. ∴y=2(x+12)2−92，即y=2x2+2x−4
☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程ax2+bx+c=0的实数根，反之亦然.
提醒 二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=m的实数根，反之亦然.
2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系
提醒 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(x1,0)和
B(x2,0),,x1+x2=−ba,x1x2=ca)
A、B两点间的距离 AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=b2−4ac|a|.抛物线的对称轴为直线 x=x1+x22，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。
例1 如图，若二次函数y=x2−x−2的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P(m,-2)为二次函数y=x2−x−2图像上一点，求m的值.
解：(1）当y=0时,x2−x−2=0.解得x1=−1,x2=2.
．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)．
(2))∵P(m,-2为二次函数y=x2−x−2图像上一点，
∴m2−m−2=−2.解得m1=0,m2=1.
．m的值为0或1．
Δ=b2−4ac的取值
Δ>0
Δ=0
Δ0
有两个交点(x1,0)、(x2,0)
有一个交点(−b2a,0)
无交点
a0,y20；当x=4时,y0的解集；抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0
Δ=0
Δ0
抛物线y=ax2+bx+c
不等式ax2+bx+c>0的解集
xx2
x≠−b2a
全体实数
不等式ax2+bx+c