第3讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质(1)【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数一般式 y=ax²+bx+c 的图象特征，掌握配方法将其化为顶点式 y=ax−ℎ²+k。
掌握 二次函数对称轴公式 x=−b2a 及顶点坐标公式，能熟练判断开口方向、增减区间和最值。
理解 二次函数图象与系数 a、b、c 的关系，能根据图象判断系数符号及特殊代数式的正负。
掌握 二次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性快速比较函数值大小、求参数范围。
体会 数形结合、转化与化归、分类讨论在二次函数综合问题中的运用。
✨ 核心思想：以“配方”为桥梁，沟通一般式与顶点式；以“对称轴”为分界，理解图象的代数与几何统一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 课程导入
以 y=x2−4x+3 为例。
由配方，可得
y=x2−4x+3=x−22−1
由配方的结果，可知抛物线 y=x2−4x+3 的对称轴是直线 x=2，
顶点是 2,−1。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。
对称轴为直线 x=2（虚线）；
顶点坐标为 2,−1；
与 x 轴交于点 1,0 和 3,0；
开口向上，经过点 0,3 和 4,3。
从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 y=x2−4x+3 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说，
当 x2 时，y 随着 x 的增大而 增大；
当 x=2 时，y 取到 最小值，最小值为 −1。
一般地，通过配方，二次函数 y=ax2+bx+c 可以化为 y=ax+m2+ℎ 的形式，进而得到其图像与性质。实际上，
y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac−b24a
将上述与 y=ax+m2+ℎ 比较，可得
m=b2a, ℎ=4ac−b24a
? 你能归纳出抛物线 y=ax2+bx+c 的性质吗？
☆ 1. 一般式与顶点式的互化
一般式： y=ax²+bx+c（a≠0）。
顶点式（配方法）： y=ax+m²+ℎ，其中 m=b2a，ℎ=4ac−b²4a。
步骤： 提公因式 a（注意 a 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。
☆ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象特征
开口方向： 由 a 决定，a>0 开口向上，a0 时，在对称轴左侧 x