第2部分-预习-第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共36页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1：二次函数的图象和性质（重难点）
知识点2：二次函数的图象和性质（重难点）
要点归纳：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
知识点3：二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点归纳：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
考点1：y＝a(x－h)2的图象与性质的识别
【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝eq \f(1,2).
方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h.
【变式1-1】（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2），
∴顶点在第二象限．
故选：B．
【变式1-2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
【变式1-3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线y=4x−22与x轴的交点坐标为 ．
【答案】2,0
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：抛物线y=4x−22与x轴的交点坐标为2,0，
故答案为：2,0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数y=ax−ℎ2顶点坐标在x轴上，顶点坐标为ℎ,0．
考点2：二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断
【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得．
【详解】解：∵，对称轴为直线，
∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【变式2-2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线y=2(x−m)2上，当x>3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m=3B．m>3C．m≤3D．m≥3
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：抛物线y=2(x−m)2上，开口向上，对称轴为x=m，
【变式2-3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【答案】（1）函数图象见详解；（2）>1；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出0,−1，1,0，2,−1三个点坐标，对称轴为x=1，顶点坐标为：1,0，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当x>1时，y随x增大而减小；
当x=1时，y=0，即当x=1时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：>1；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
考点3：确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
【例3】能否向左或向右平移函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，设平移后的函数为y＝－eq \f(1,2)(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－eq \f(1,2)(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－eq \f(1,2)(x＋5)2或y＝－eq \f(1,2)(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”．
【变式3-1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线y=a(x−ℎ)2与抛物线y=ax2的关系：
若h＞0，抛物线y=ax2向 平移h个单位就得到抛物线y=a(x−ℎ)2；
若h＜0，，抛物线y=ax2向 平移|h|个单位就得到抛物线y=a(x+ℎ)2．
【答案】 右 左
【解析】若h＞0，抛物线y=ax2向右平移h个单位就得到抛物线y=a(x−ℎ)2；
若h＜0，，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位就得到抛物线y=a(x+ℎ)2．
【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【答案】图形见解析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0).
【详解】利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标．
解：函数图象如图所示：
抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
【变式3-3】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
考点4：y＝a(x－h)2的图象与几何图形的综合
【例4】把函数y＝eq \f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝eq \f(1,2)(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)（x－4）2，,y＝x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝8.))∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝eq \f(1,2)OC×8－eq \f(1,2)OC×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
【变式4-1】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【答案】的面积为12，周长为
【分析】令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出、的长度，由勾股定理得出的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．
【详解】∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，，
解得：，
令，，
，，
，，
由勾股定理得：
，
．
的面积为12，周长为．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【答案】1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
【变式4-3】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛
物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
【答案与解析】
(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，
∴ ．由待定系数法可求出，，
∴ ．
(2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．
∴ ．
(3)根据图象知或时，有．
【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两
个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线
的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的
错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，
确定自变量的变化范围．
考点5：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象
【例5】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．
解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．
解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.
方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．
【变式5-1】函数y=−12(x+1)2+2的图象是一条________，开口方向________，顶点坐标为________．
【答案】 抛物线 向下 (−1,2)
【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可．
【详解】解：函数y=−12(x+1)2+2的图象是一条抛物线；
∵a=−12y2，∴④正确．综上所述，选B.
方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－eq \f(b,2a)；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y