新高考数学一轮复习考点分层练习第4章§4.8正弦定理、余弦定理（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点分层练习第4章§4.8正弦定理、余弦定理（含答案解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，sin A=12，则sin B等于( )
A.34B.23
C.13D.14
2.在△ABC中，cs C=23，AC=4，BC=3，则cs B等于( )
A.19B.13
C.12D.23
3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c=2∶3∶4，则sinA−2sinBsin2C等于( )
A.12B.-12C.2D.-2
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A2+b2c=12，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2=(a+c)2-42，B=π4，则△ABC的面积为( )
A.2-2B.4-22
C.2+2D.4+22
6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且c-2b+23cs C=0，则该三角形外接圆的半径为( )
A.1B.3C.2D.23
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是( )
A.A=π4，b=1，c=2
B.B=2π3，b=1，c=2
C.A=π6，b=3，a=3
D.B=π4，b=3，a=2
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A.若acs A=bcs B，则△ABC是等腰三角形
B.若bcs C+ccs B=b，则△ABC是等腰三角形
C.若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC是等边三角形
D.若B=60°，b2=ac，则△ABC是直角三角形
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs C=23，a=3b，则cs A= .
10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延长BA到点D，使得AD=2，∠ADC=π6，则AB的长为 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+3cs A=2.
(1)求A；(5分)
(2)若a=2，2bsin C=csin 2B，求△ABC的周长.(8分)
12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC于点E.
(1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分)
13题6分，14~16题每小题5分，共21分
13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absin C，acs B+bsin A=c，则下列结论正确的是( )
A.tan C=2B.A=π4C.b=2D.△ABC的面积为6
14.在△ABC中，sin(B-A)=14，2a2+c2=2b2，则sin C等于( )
A.23B.32C.12D.1
15.已知△ABC的面积S=14(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 .
16.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12(cb)2−c2+b2−a222.根据此公式，若acs B+(b-2c)cs A=0，且b2+c2-a2=2，则△ABC的面积为 .
答案精析
1.A 2.A 3.C
4.A [∵sin2A2+b2c=12，
∴1−csA2=12-b2c，∴cs A=bc，
∵cs A=b2+c2−a22bc=bc，
∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2，
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.]
5.A [因为b2=(a+c)2-42=a2+c2+2ac-42，所以a2+c2-b2=42-2ac，
因为B=π4，由余弦定理得，
cs B=22=a2+c2−b22ac=22−acac，
所以ac=42-4，
故△ABC的面积
S=12acsin B=12(42-4)×22
=2-2.]
6.A [∵a=3，∴c-2b+2acs C=0，
∴sin C-2sin B+2sin Acs C=0，
∴sin C-2sin(A+C)+2sin Acs C=0，
∴sin C-2sin Acs C-2sin Ccs A+2sin Acs C=0，
∴sin C-2sin Ccs A=0，
∵sin C>0，∴cs A=12，
∵A∈(0，π)，∴A=π3，
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得asinA=332=2=2r，
∴r=1.]
7.CD [对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形；
对于B，由正弦定理可知，sin C=csinBb=2×321=3>1，无解，
故B选项的条件不能确定三角形；
对于C，由正弦定理可知，sin B=bsinAa=3×123=32a，即B∈π6，π，所以B=π3或B=2π3，故C选项的条件能确定2个三角形；
对于D，由正弦定理可知，sin A=asinBb=2×223=23=63b，即A∈π4，π，
又易知sin A=23>sinπ4=22，则sin A=63有两个解，
故D选项的条件能确定2个三角形.]
8.BC [对于A，若acs A=bcs B，则由正弦定理得sin Acs A=sin Bcs B，
∴sin 2A=sin 2B，则2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcs C+ccs B=b，则由正弦定理得sin Bcs C+sin Ccs B=sin(B+C)=sin A=sin B，即A=B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若acsA=bcsB=ccsC，则由正弦定理得sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC，则tan A=tan B=tan C，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B=60°，b2=ac，由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac，可得(a-c)2=0，解得a=c，故△ABC是等边三角形，故D错误.]
9.-66
解析 在△ABC中，cs C=23，a=3b，
由余弦定理可得
cs C=a2+b2−c22ab=9b2+b2−c22·3b·b=23，
解得c=6b，
再由余弦定理可得
cs A=b2+c2−a22bc=b2+6b2−9b22b·6b=-66.
10.63
解析 ∵在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延长BA到点D，使得AD=2，∠ADC=π6，
∴由正弦定理得
ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
可得sin∠ACD=ADsin∠ADCAC=22，
可得∠ACD=π4，∴∠BAC=∠ACD+∠ADC=π4+π6=5π12，∠ABC=π-5π12-π4=π3，
∴在△ABC中，由正弦定理得
ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，
即ABsin π4=1sin π3，解得AB=63.
11.解 (1)方法一 常规方法(辅助角公式)
由sin A+3cs A=2，
可得12sin A+32cs A=1，
即sinA+π3=1，
由于A∈(0，π)⇒A+π3∈π3，4π3，
故A+π3=π2，
解得A=π6.
方法二 常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A+3cs A=2，
又sin 2A+cs 2A=1，
消去sin A得到
4cs2A-43cs A+3=0⇔
(2cs A-3)2=0，
解得cs A=32，
又A∈(0，π)，故A=π6.
(2)由题设条件和正弦定理得，
2bsin C=csin 2B⇔2sin Bsin C=2sin Csin Bcs B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cs B=22，得到B=π4，
于是C=π-A-B=7π12，
sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)
=sin Acs B+cs Asin B
=2+64，
由正弦定理可得，
asinA=bsinB=csinC，
即2sinπ6=bsinπ4=csin7π12，
解得b=22，c=6+2，
故△ABC的周长为2+6+32.
12.解 (1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC于点E，可得AB=AC·cs∠BAC=10×12=5，AD=AC·cs∠DAC=10×22=52，因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=π3+π4，所以cs∠BAD=cs π3cs π4-sin π3sin π4
=12×22-32×22=2−64，
所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs∠BAD
=25+50-2×5×52×2−64
=50+253.
(2)因为sin∠BAD=sinπ3+π4
=6+24，
又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE，
所以12·AB·AD·sin∠BAD=12·AB·AE·sin∠BAE+12·AE·AD·sin∠EAD，
即12×5×52×6+24=12×5×AE×32+12×AE×52×22，
解得AE=53-5.
13.ABD [因为a2+b2-c2=absin C，
所以cs C=a2+b2−c22ab
=absinC2ab=sinC2，
所以tan C=sinCcsC=2，故A正确；
因为acs B+bsin A=c，利用正弦定理可得
sin Acs B+sin Bsin A=sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B，
即sin Bsin A=cs Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A=1，又A∈(0，π)，所以A=π4，故B正确；
因为tan C=2，C∈(0，π)，
所以sin C=255，cs C=55，
又A=π4，所以sin A=cs A=22，
所以sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C=22×55+22×255=31010，
因为asinA=bsinB，所以b=asinBsinA=10×3101022=32，故C错误；
S△ABC=12absin C=12×10×32×255=6，故D正确.]
14. C
[∵a2+c2-b2=2accs B，
又b2+c2-a2=2bccs A，
两式相减，得2a2-2b2=2accs B-2bccs A=-c2，
∴2acs B-2bcs A=-c，
由正弦定理可得2sin Acs B-2sin Bcs A=-2sin(B-A)=-sin C，
又sin(B-A)=14，∴sin C=12.]
15.等腰直角三角形
解析 依题意，△ABC的面积S=14(b2+c2)，
则12bcsin A=14(b2+c2)，
即2bcsin A=b2+c2，
由于0