新高考数学一轮复习考点分层练习第4章§4.10解三角形应用举例（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点分层练习第4章§4.10解三角形应用举例（含答案解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB=30°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离是( )
A.252 mB.502 m
C.253 mD.503 m
2.(2024·吉林模拟)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距2 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A.2 n mileB.2 n mile
C.22 n mileD.32 n mile
3.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )
A.4003 mB.40033 m
C.20033 mD.2003 m
4.(2025·贵阳模拟)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之一.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2 m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为(参考数据：tan 72.4°≈3.15，sin 53°≈0.80)( )
A.18 mB.20 mC.22 mD.24 m
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有( )
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
6.(2024·重庆模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD=45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则( )
A.观测点B位于A处的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为6 km
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为6 km
D.该船在由C行驶至A的这5 min内行驶了2 km
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处.则两艘轮船之间的距离为 n mile.
8.如图，小明同学为了估算某教堂的高度CD，在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153-15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算教堂的高度为 .
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知某测量小组为测量一座山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C-OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表该山的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米.
(1)求sin∠CABsin∠CBA；(6分)
(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cs∠CBA=34，求山高OC.(7分)
10.(15分)如图，在一次海上联合作战演习中，A处的一艘红方侦察艇发现在北偏东45°方向相距12 n mile的水面上B处，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
每小题5分，共10分
11.已知甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A.514小时B.57小时C.145小时D.75小时
12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为 小时.
答案精析
1.A 2.B 3.A
4.C [由题意可知，∠BCD=23°，∠CDB=30°，
所以∠CBD=127°，
又因为CD=11.2 m，
由正弦定理CDsin∠CBD=CBsin∠CDB，
可得11.2sin127°=CBsin30°，
解得CB≈7 m，
又因为∠ACB=72.4°，
所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).]
5.BCD [对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsin β，故B正确；
对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsin α，故D正确.]
6.ACD [对于A，∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，因为B在D的正北方向，所以观测点B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
对于B，在△BCD中，∠CBD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠BCD=45°，则BD=CD=2，则BC=22，故B错误；
对于C，在△ABD中，∠ABD=75°，∠ADB=60°，则∠BAD=45°，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，即AB=BDsin∠ADBsin∠BAD=6，故C正确；
对于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs∠ABC=6+8-2×6×22×32=2，即AC=2 km，故D正确.]
7.13
解析 如图所示，连接AC，由题可知，
∠ABC=60°，
AB=BC=5 n mile，所以△ABC为正三角形，
在△ACD中，
AD=32 n mile，
∠DAC=180°-60°-75°=45°，
所以CD2=(32)2+52-2×32×5×cs 45°=13，即CD=13 n mile.
8.303 m
解析 由题意知，∠CAM=45°，
∠AMC=105°，
所以∠ACM=30°.
在Rt△ABM中，
AM=ABsin∠AMB=ABsin15°，
在△ACM中，
由正弦定理得AMsin30°=CMsin45°，
所以CM=AM·sin45°sin30°=AB·sin45°sin15°·sin30°，
在Rt△DCM中，CD=CM·sin 60°
=AB·sin45°·sin60°sin15°·sin30°
=(153−15)×22×326−24×12=303(m).
9.解 (1)在Rt△AOC中，
由∠OAC=45°得AC=2OC，
在Rt△BOC中，
由∠OBC=30°得BC=2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得BCsin∠CAB=ACsin∠CBA，
所以sin∠CABsin∠CBA=BCAC=2.
(2)在△ABC中，利用余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs∠CBA，
即2OC2=8 100+4OC2-2×90×2OC×34，
化简为OC2-135OC+4 050=0，
解得OC=90或OC=45，
当OC=45时，BC=90=AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC=90符合条件，
所以山高OC为90米.
10.解 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC=14x，
BC=10x，
∠ABC=120°.
根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcs 120°，
解得x=2(负值舍去).故AC=28，BC=20.
根据正弦定理得BCsinα=ACsin120°，
所以sin α=20sin120°28=5314.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.
11.A [假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C处，D处，如图所示，
可知BC=10-4x，BD=6x，∠CBD=120°，
由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cs∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×12=28x2-20x+100.
所以当x=514时，两船相距最近.]
12.1
解析 设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP=x，
在△ABP中，由余弦定理得PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cs A，
即302=x2+402-2x·40·cs 45°，
化简得x2-402x+700=0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=402，x1x2=700，所以|x1-x2|=(x1+x2)2−4x1x2=20，
即图中CD=20千米，
所以城市B处于危险区的时间为2020=1(小时).