新高考数学一轮复习课件第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理（含详解）

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这是一份新高考数学一轮复习课件第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，RsinB，RsinC，三角形解的判断，°或135°，1求边c的长，因为B∈0π，若选③等内容，欢迎下载使用。

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2cacs B
a2＋b2－2abcs C
1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
sin A∶sin B∶sin C
(2)S＝＝＝；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　)
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于
在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝ .
因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.
例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求的最小值.[关键点：找到角B与角C，A的关系]
利用正弦定理、余弦定理解三角形
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
跟踪训练1　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；
方法一　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，
可得accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，即accs B＋abcs C＝2bccs A(*).
2bccs A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二　因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
由(1)及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
命题点1　三角形的形状判断例2　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
正弦定理、余弦定理的简单应用
因为c－acs B＝(2a－b)cs A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，又角C为△ABC的内角，
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以△ABC是等边三角形.
判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
命题点2　三角形的面积例3　(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积.
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin Ccs A
三角形面积公式的应用原则
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
命题点3　与平面几何有关的问题例4　(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cs C)＝ csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为 .
由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cs C)
解得b＝8(b＝－3舍去).
故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.
跟踪训练2　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是A.若acs A＝bcs B，则△ABC一定是等腰三角形B.若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
对于A，若acs A＝bcs B，则由正弦定理得sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcs C＋ccs B＝b，则由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误.
(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcs A＋a＝2c；③ acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
①若，求角B的大小；
若选①，因为c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)，由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，整理得a2＋c2－b2＝ac，
若选②，因为2bcs A＋a＝2c，
化简得，a2＋c2－b2＝ac，
②求sin A＋sin C的取值范围；
③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值.
令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，
所以sin α＝asin θ.又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cs α，
所以a2cs2θ＝a2－a2sin2θ＝cs2α－4cs α＋4，所以acs θ＝2－cs α.
1.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于
因为sin A＝6sin B，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为
已知(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化简得b2＋c2－a2＝－bc，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A＝16－12＝4，解得a＝2.
而0°显然0°6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cs B(acs C＋ccs A)＝b，lg sin C＝ lg 3－lg 2，则△ABC的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形
∵2cs B(acs C＋ccs A)＝b，∴根据正弦定理得，2cs B(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin B，∴2cs Bsin(A＋C)＝sin B，∴2cs Bsin(π－B)＝sin B，即2cs Bsin B＝sin B，∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，
设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－
8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 .
∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，可得2bccs A＝8，
9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcs C＝(2a－c)cs B.(1)求B；
由正弦定理，得sin Bcs C＝2sin Acs B－cs Bsin C，即sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Acs B，∴sin(B＋C)＝2sin Acs B，∴sin A＝2sin Acs B，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积.
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.
∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
∴△ABC为等边三角形.
11.(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是A.若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形B.若A>B，则sin A>sin BC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A＋sin2B对于A，若cs A＝cs B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若A>B，则a>b，
即sin A>sin B成立，故B正确；
因为sin A>0，sin B>0，所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
14.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝ .
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以cs∠ADB＋cs∠ADC＝0，
16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝ .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝ .则△BCE的面积为 .
而a2＋c2＝b2＋ac，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，