新高考数学一轮复习题型分类讲练4.4 正余弦定理（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练4.4 正余弦定理（精讲）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了边角互换，判断三角形的形状，三角形的外接圆，三角形的面积公式，三角形个数的判断，正余弦定理在几何中的应用，正余弦定理在实际生活中的应用，三角形中周长与面积的最值等内容，欢迎下载使用。

考向一 边角互换
【例1-1】（24-25广东东莞）在中，角的对边为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2025·湖南·三模）在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，，且，则
2.（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ．
3．（2025·河南·模拟预测）在中，内角所对边分别为，若，则 .
4．（2024·四川攀枝花·二模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
则角=
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知，则B=
考向二 判断三角形的形状
【例2-1】（24-25江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【例2-2】（24-25湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【例2-3】（24-25安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
3．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
5．（23-24浙江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
考向三 三角形的外接圆
【例3-1】（2025河南）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1B．C．2D．
【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（ ）
A．B．C．D．
考向四 三角形的面积公式
【例4-1】（2025·山西·三模）在中，，，，则的面积是（ ）
A．B．C．3D．12
【例4-2】（2024·贵州 ）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（ ）
A．176B．88C．44D．22
2．（2025·广东广州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ．
3．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
考向五 三角形个数的判断
【例5-1】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2025河南）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向六 正余弦定理在几何中的应用
【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)如图所示，为外一点，，，，求．
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D.
(1)若，求的长；
(2)若，，求的长.
【一隅三反】
1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则中边上高的长度为
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，，，，求：
(1)四边形的面积；
(2)的值；
(3)的面积.
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
考向七 正余弦定理在实际生活中的应用
【例7】（24-25湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68mB．70mC．72mD．74m
2．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A．B．C．D．
考向八 三角形中周长与面积的最值
【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
3．（23-24辽宁·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
考向九 三角形的中线、角平分线与高
【例9-1】（2025·江西·二模）在中，内角所对的边分别是，已知.
(1)求角；
(2)已知角的平分线与边相交于点，且，求的面积.
【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【一隅三反】
1.（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
2.（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值．
4．（2025·四川·模拟预测）在中，内角的对边分别为的面积满足：
(1)求；
(2)若平分，且，求．
考向十 三角形的取值范围
【例10-1】（2025·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的周长；
(2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围.
【例10-2】（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
【例10-3】（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
2．（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
3（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
4．（2025山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.