(新高考)高考数学一轮复习课件第4章§4.7《正弦定理、余弦定理》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第4章§4.7《正弦定理、余弦定理》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，RsinB，RsinC，探究核心题型，又C∈0π，2求CD的长，∴CD＝7，又∵sinB≠0，所以BD＝8，在△ABD中等内容，欢迎下载使用。

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.正弦定理与余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2cacs B
a2＋b2－2abcs C
2.三角形中常用的面积公式
在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　)
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于
因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得
因为∠BAC为△ABC的内角，
又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
3.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ .
TANJIUHEXINTIXING
例1　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C.(1)证明：BD＝b;[切入点：角转化为边](2)若AD＝2DC，求cs∠ABC. [关键点：∠BDA和∠BDC互补]
利用正弦定理、余弦定理解三角形
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.(1)求A；
根据正弦定理，由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，
所以∠ADB＋∠ADC＝π，则cs∠ADB＋cs∠ADC＝0，
整理得a2＝2b2－44，又a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4－2b，所以b2＋4－2b＝2b2－44，解得b＝6或b＝－8(舍)，因此a2＝2b2－44＝28，
解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
跟踪训练1　(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝(1)求B的大小；
∵c＝2bcs B，则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcs B，
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
若选择①：由正弦定理结合(1)可得
设△ABC的外接圆半径为R，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
例2　在△ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1　三角形形状判断
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，又角C为三角形的内角，
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以△ABC是等边三角形.
判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
命题点2　三角形的面积
例3　(2022·沧州模拟)在①sin A，sin C，sin B成等差数列；②a∶b∶c＝4∶3∶2；③bcs A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＋bsin B ＝csin C，c＝1， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
因为a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，由正弦定理得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，
选择①：因为sin A，sin C，sin B成等差数列，所以sin A＋sin B＝2sin C，即a＋b＝2c＝2，由a2＋b2－c2＝a2＋b2－1＝ab，得(a＋b)2－3ab＝1，所以ab＝1，故存在满足题意的△ABC，
选择②：因为a∶b∶c＝4∶3∶2，
这与A＋B＋C＝π矛盾，所以△ABC不存在.选择③：因为bcs A＝1，
得b2＝1＋a2＝c2＋a2，
三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝ 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
命题点3　与平面几何有关的问题
例4　如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝ AB＝6.在AB边上(1)求sin∠BCE的值；
在△BEC中，由正弦定理，
∴△AED为直角三角形，又AE＝5，
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cs∠CED
1.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则该三角形的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.钝角三角形
∵a2＋b2－c2＝ab，
由2cs Asin B＝sin C，
故三角形为等边三角形.
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C－(1)求tan C；
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
跟踪训练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
因为c－acs B＝(2a－b)cs A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以△ABC为等腰或直角三角形.
(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，cs B＝ ，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角.①求BD；
在△ABD中，由余弦定理得AB2＋BD2－2AB·BD·cs B＝AD2，整理得BD2－12BD＋32＝0，所以BD＝8或BD＝4.
②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长.
所以sin C＝sin(∠ADB－∠CAD)＝sin(∠ADB－∠BAD)＝sin∠ADBcs∠BAD －cs∠ADBsin∠BAD
KESHIJINGLIAN
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为则C等于
根据题意及三角形的面积公式知
2.(2022·北京西城区模拟)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于
因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcs C，
3.(2022·济南质检)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
4.(2022·河南九师联盟联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2b，sin2A－3sin2B＝ sin Asin C，则角C等于
5.(多选)(2022·山东多校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bsin A＝ D为BC的中点，E为AC上的点，且BE为∠ABC的平分线，下列结论正确的是
又sin2B＋cs2B＝1，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，得BC＝6.A项，
D项，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs B
6.(多选)(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是A.在△ABC中，A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立C.在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，正确；
∴不等式sin A>cs B恒成立，正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确.
7.(2022·潍坊质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，a－c＝2，A＝ .则△ABC的面积为 .
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
解得c＝5，则△ABC的面积为
8.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
9.(2022·南平模拟)在①2ccs B＝2a－b，②△ABC的面积为 (a2＋b2－c2)，③cs2A－cs2C＝sin2B－sin Asin B，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .(1)求角C的大小；
若选条件①2ccs B＝2a－b，
即a2＋b2－c2＝ab，
又因为C∈(0，π)，
若选条件③cs2A－cs2C＝sin2B－sin Asin B，则(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，即a2＋b2－c2＝ab，
(2)若c＝2且4sin Asin B＝3，求△ABC的面积.
又因为4sin Asin B＝3，所以ab＝4，
10.(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cs∠ADC＝(1)求BD；
在△ABD中，由余弦定理得82＝BD2＋72－2·BD·7·cs∠ADB，解得BD＝3或BD＝－5(舍).
11.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面
所以2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcs C.又4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以2absin C＝2abcs C＋2ab.因为ab≠0，所以sin C＝cs C＋1.
因为sin2C＋cs2C＝1，所以(cs C＋1)2＋cs2 C＝1，解得cs C＝－1(舍去)或cs C＝0，所以sin C＝1，
12.(2022·焦作模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且(sin A＋sin B)2＋cs2C＝1＋sin Asin B，则cs B等于
因为(sin A＋sin B)2＋cs2C＝1＋sin Asin B，所以sin2A＋sin2B＋2sin A·sin B＋1－sin2C＝1＋sin A·sin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，又a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，
又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，
所以CD2－6CD＋5＝0，解得CD＝1或CD＝5.
14.(2022·大连模拟)托勒密(Ptlemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为 .
又∠ABD＝∠ACD＝30°，所以四边形ABCD的面积
在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
15.(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S＝ (S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边).现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶ ，且△ABC的面积S△ABC＝6 ，则下列结论正确的是A.△ABC的周长为10＋2B.△ABC的三个内角满足A＋B＝2CC.△ABC的外接圆半径为D.△ABC的中线CD的长为3
A项，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
16.(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.