新高考数学一轮复习考点分层练习第4章必刷大题9解三角形（含答案解析）

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1.(13分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；(6分)
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.(7分)
2.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A=2sin B.
(1)若b=2，c=27，求C的大小；(5分)
(2)点D在边AB上，且AD=13AB，证明：CD平分∠ACB.(10分)
3.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acs B.
(1)证明：a2-b2=bc；(5分)
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(10分)
4.(17分)(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acs C-asin C=3b.
(1)求角A的大小；(7分)
(2)若a=2，求BC边上的中线AD长度的最小值.(10分)
答案精析
1.解 (1)由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcs∠BAC
=4+1-2×2×1×cs 120°=7，
则BC=7，
由正弦定理可得sin∠ABC
=AC·sin∠BACBC=1×327=2114.
(2)由三角形面积公式可得
S△ABDS△ACD=12AB·ADsin90°12AC·ADsin30°=4，
则S△ACD=15S△ABC
=15×12×2×1×sin120°=310.
2.(1)解 由sin A=2sin B，得a=2b=4，
由余弦定理可知
cs C=a2+b2−c22ab=-12，
又C∈(0，π)，则C=2π3.
(2)证明 在△ACD中，
由正弦定理可知
13csin∠ACD=bsin∠ADC，
则sin∠ACD=csin∠ADC3b，
在△BCD中，由正弦定理可知
23csin∠BCD=2bsin∠BDC，
则sin∠BCD=csin∠BDC3b，
又sin∠BDC=sin∠ADC，
故sin∠BCD=sin∠ACD，即∠BCD=∠ACD或∠BCD=π-∠ACD，
又∠ACB=∠BCD+∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD=∠ACD，
故CD平分∠ACB.
3.(1)证明 sin B+sin C=2sin Acs B，
由正弦定理可得b+c=2acs B，
又∵cs B=a2+c2−b22ac，
∴b+c=a2+c2−b2c，
∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
(2)解 由(1)知b+c=2acs∠CBA，
∴cs∠CBA=b+c2a=b+32a，
在△BCD中，BC=a，BD=1，
∴cs∠CBD=a2+1−CD22a，
又∵cs∠CBD=cs(π-∠CBA)
=-cs∠CBA，
∴-b+32a=a2+1−CD22a，
∴-b-3=1+a2-CD2，
∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值2.
4.解 (1)由3acs C-asin C=3b结合正弦定理，
得3sin Acs C-sin Asin C=3sin B.
因为A+B+C=π，
所以3sin Acs C-sin Asin C
=3sin(A+C)
=3(sin Acs C+cs Asin C)，
所以-sin Asin C=3cs Asin C.
因为sin C>0，所以tan A=-3.
因为A∈(0，π)，所以A=2π3.
(2)在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccs 2π3，
所以4=b2+c2+bc.①
因为AD为BC边上的中线，
所以AD=12(AB+AC)，
所以|AD|2=AD2=14(AB+AC)2
=14(c2+b2-bc).②
由①得b2+c2=4-bc，③
代入②得|AD|2=1-12bc.④
由③得4-bc=b2+c2≥2bc，
所以bc≤43，
当且仅当b2+c2+bc=4，b=c，
即b=c=233时取等号，
代入④得|AD|2=1-12bc≥13，
所以AD≥33，
故AD长度的最小值为33.