新高考数学一轮复习学案 第2章 §2.5　对数与对数函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第2章 §2.5　对数与对数函数（含解析），共15页。学案主要包含了对数式的运算，对数函数的图象及应用，对数函数的性质及应用等内容，欢迎下载使用。


1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1， SKIPIF 1 < 0 (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
微思考
1．根据对数的换底公式，说出lgab与lgba， SKIPIF 1 < 0 与lgab的关系？
提示 lgab·lgba＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 0题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( × )
(2)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3)函数y＝lgaeq \f(1＋x,1－x)与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
(4)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).( √ )
题组二 教材改编
2．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(lg32)＝________.
答案 6
解析 ∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴f(lg32)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2＋4＝6.
3．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出满足条件的一个f(x)即可)
答案 lg2x
解析 运算符合对数函数的运算法则，如f(x)＝lg2x，nf(x)＝nlg2x＝lg2xn＝f(xn)，可以填写f(x)＝lg2x.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是______．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 由 SKIPIF 1 < 0 ，得0<2x－1≤1.
∴eq \f(1,2)∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
题组三 易错自纠
5．已知b>0，lg5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．计算：(lg29)·(lg34)＝________.
答案 4
解析 (lg29)·(lg34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.
题型一 对数式的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)设alg34＝2，则4－a等于( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 方法一 因为alg34＝2，
所以lg34a＝2，
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9).
方法二 因为alg34＝2，
所以a＝eq \f(2,lg34)＝2lg43＝lg432＝lg49，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____.
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练1 (1)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 2a＝5b＝m，
∴lg2m＝a，lg5m＝b，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，
∴m2＝10，∴m＝eq \r(10)(舍m＝－eq \r(10))．
(2)计算：lg535＋ SKIPIF 1 < 0 －lg5eq \f(1,50)－lg514＝________.
答案 2
解析 原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋ SKIPIF 1 < 0
＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋ SKIPIF 1 < 0
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，由函数图象可知－1综上有0(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析 若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点，
由图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝lga|x|＋1(0答案 A
解析 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝lga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
例3 (1)设a＝lg3e，b＝e1.5， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．bC．c答案 D
解析 SKIPIF 1 < 0 ＝lg34>lg3e＝a.
又c＝lg342，
∴a(2)若实数a，b，c满足lga2A．aC．c答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得
eq \f(1,lg2a)即lg2c可得c思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
命题点2 解对数方程(不等式)
例4 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，, SKIPIF 1 < 0 ，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a> SKIPIF 1 < 0 ))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，, SKIPIF 1 < 0 >lg2－a，))
解得a>1或－1命题点3 对数函数性质的综合应用
例5 (1)(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减
答案 D
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠±\f(1,2))))).
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln eq \f(－2x－1,1－2x)
＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，
∵y＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减．
[高考改编题](多选)已知函数f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 ACD
解析 f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，令eq \f(2x＋1,2x－1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，
∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1,2x－1)))－1
＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故A正确；B错误．
又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，
令t＝1＋eq \f(2,2x－1)，t>0且t≠1，∴y＝ln t，
又t＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故C正确；
∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))
解析 当a>1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1,2]上单调递减，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1当0由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)>1，且8－2a>0.
解得a∈∅，
综上可知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3))).
(2)已知函数f(x)＝|lg2x|，实数a，b满足0答案 4
解析 ∵f(x)＝|lg2x|，
∴f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0∴01且ab＝1，
∴a2f(x)max＝f(a2)＝|lg2a2|＝－2lg2a＝2，
∴a＝eq \f(1,2)，∴b＝2，
∴eq \f(1,a)＋b＝4.
课时精练
1．(2019·全国Ⅰ)已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c答案 B
解析 ∵a＝lg20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．lg2x B.eq \f(1,2x) C． SKIPIF 1 < 0 D．2x－2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，
又f(2)＝1，即lga2＝1，
所以a＝2.
故f(x)＝lg2x.
3．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，得－26.7＋1.45＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，则eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)＝－25.25，∴lg eq \f(E1,E2)＝－10.1，lg eq \f(E2,E1)＝10.1，∴eq \f(E2,E1)＝1010.1.故选A.
5．(多选)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若lgab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
答案 AD
解析 ①当a>1时，lgab>1＝lgaa，
∴b>a，∴b>a>1，
∴(a－1)(a－b)<0.
②当01＝lgaa，∴b∴0∴b－1<0，b－a<0，
∴(b－1)(b－a)>0.
6．(多选)已知函数f(x)＝lg2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
答案 BC
解析 f(x)＝lg2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
∴A错误，B正确；
根据f(x)的图象(图略)可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤lg21＝0，故C正确．
7．计算：lg3eq \f(1,2)×lg49＋lgeq \f(5,2)＋2lg 2＝________.
答案 0
解析 原式＝－lg32× SKIPIF 1 < 0 ＋lgeq \f(5,2)＋lg 4
＝－lg32×lg23＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)×4))
＝－1＋1＝0.
8．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 令x－3＝1，则x＝4，
∴y＝lga1－1＝－1，
故点P坐标为(4，－1)．
9．函数f(x)＝lg2eq \r(x)· SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
答案 －eq \f(1,4)
解析 依题意得f(x)＝eq \f(1,2)lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，当lg2x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
10．若函数f(x)＝lga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
答案 2
解析 令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝eq \f(7,4).
当a>1时，y＝lgau是增函数，f(x)max＝lga4＝2，得a＝2；
当011．设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴lga4＝2(a>0，且a≠1)，
∴a＝2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,3－x>0，))得－1∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(3－x)
＝lg2[(1＋x)(3－x)]＝lg2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0,1]时，f(x)单调递增；
当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝lg24＝2.
12．(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)＋a)).
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，
∴lg2(1＋a)＝0，∴a＝0.
经验证当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．
∴a＝0.
(2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝lg2(1＋a)，最小值是f(1)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋a)).
由题设得lg2(1＋a)－lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋a))≥2，
则lg2(1＋a)≥lg2(4a＋2)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋a≥4a＋2，,4a＋2>0，))
解得－eq \f(1,2)故实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,3))).
13．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为0
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 BC
解析 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；
f(x)max＝f(1)＝0，故B正确；
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确．
14．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a答案 (0,1)
解析 由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,015．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0答案 B
解析 ∵a＝lg0.20.3>lg0.21＝0，
b＝lg20.3∵eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.30.2＋lg0.32＝lg0.30.4，
∴1＝lg0.30.3>lg0.30.4>lg0.31＝0，
∴016．(2020·武汉调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求实数t的取值范围．
解 函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝lgaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0∴f(x)在定义域R上为增函数，
f(x)＝lga(ax＋t2)＝eq \f(1,2)x，
∴ax＋t2＝ SKIPIF 1 < 0
则ax－ SKIPIF 1 < 0 ＋t2＝0.
令u＝ SKIPIF 1 < 0 ，u>0，
则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根．
得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，
∴0∴实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).y＝lgax
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数