(新高考)高考数学一轮复习考点练习13《指数与对数的运算》（解析版）

考点13  指数与对数的运算

【命题解读】

学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；

【基础知识回顾】 

1．根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2．分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．

3．对数的概念

如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．

4．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④Mn＝logaM．

(2)对数的性质

①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：logaN＝ (a，c均大于零且不等于1)；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．

1、设a， b， c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是

A．       B．

C．     D．

【答案】B

【解析】，，≠1． 考察对数2个公式： ，对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．

2、=

A．         B．        C．  2      D． 4

【答案】D

【解析】．

3、化简4a·b－÷的结果为(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C．－  D．－6ab

【答案】C　

【解析】原式＝－6ab－－＝－6ab－1＝－.

4、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　)

A．a2＋a－2＝7  B．a3＋a－3＝18

C．a＋a－＝±  D．a＋＝2

【答案】ABD　

【解析】在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．

5、的值是____________．

【答案】1

【解析】．

6、计算：log5[4log210－(3)－7log72]＝________．

【答案】0

【解析】原式＝log5[2log210－(3)－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.

7、（2012北京）已知函数，若，则      ．

【答案】2

【解析】由，得，于是

．

考向一　指数幂的运算

例1　化简下列各式(其中各字母均为正数)．

(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0

(2)(a>0，b>0)

(3) －π0；

(4)

【解析】(1)原式＝＋500－＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.

　(3原式＝=－1＝－－1＝0.

(4)原式＝＝.

变式1、．计算下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）原式＝；

（Ⅱ）原式＝．

变式2、已知＝3，求的值．

【解析】设＝t，则＝，已知即t＋＝3.

于是，＝t3＋＝·，

而x2＋x－2＝t4＋＝－2, 将t＋＝3，平方得 t2＋＋2＝9，于是t2＋＝7.从而，原式＝＝＝.

方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

考向二  对数的运算

例1、（1）化简：＝________．

（2）化简：＝________．

（3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(    )

A.                 B.                 C.               D. ．

【解析】（1）．原式＝＝＝1．

（2）．＝23·2log0．54＝8·

＝8·2－log24＝8·＝8·＝2．

（3）．D 由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝logm2＋logm5＝logm10．

∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝．

变式1、　化简下列各式：

(1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；

(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；

(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)；

（4）2log32－log3＋log38－3log55；

【解析】　(1)原式＝lg

＝lg

＝

＝.

(2)      原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5

＝(1＋1)lg2＋2lg5

＝2(lg2＋lg5)

＝2.

(3)      (log32＋log92)·(log43＋log83)

＝·

＝·

＝·

＝.

（4）2log32－log3＋log38－3log55

＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3

＝log3(22×32×2－5×23)－3

＝log332－3

＝2－3

＝－1.

变式2、(1)2log32－log3＋log38－；

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

【解析】(1)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.

(2)(方法1)原式＝

＝

＝log25·3log52

＝13··log52

＝13.

(方法2)

原式＝

＝

＝

＝13.

方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

考向三  指数是与对数式的综合

例3　(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ；

(2)若60a＝3，60b＝5，求的值．

【解析】　(1)设3a＝4b＝6c＝k，则k>1.由对数定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，

则＋＝＋

＝2logk3＋logk4

＝logk9＋logk4

＝logk36.

又＝＝2logk6＝logk36，

∴＋＝.

(2)由a＝log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，

于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，

则有＝＝log124，

∴12＝

12log124

＝12log122＝2.

变式1、设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________.

由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.

∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝.

方法总结：　这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：

1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．

2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．

1、（2013浙江）已知为正实数，则

A．             B．

C．             D．

【答案】D

【解析】取特殊值即可，如取

．

2、（2020全国Ⅰ文8）设，则 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】B

【解析】由可得，∴，∴有，故选B．

3、（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则

A．      B．     C．     D．

【答案】D

【解析】设，因为为正数，所以，则，，，所以，则，排除A、B；只需比较与，，则，选D．

4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：≈0．48）

A．     B．       C．     D．

【答案】D

【解析】设，两边取对数得，，所以，即最接近，选D．

5、（2020全国Ⅰ理12）若，则 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路导引】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案．

【解析】设，则为增函数，∵，

∴，

∴，∴．

∴，

当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．

6、 化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－－π0；

(2)a·b－2·÷.

【解析】(1)原式＝－－1

＝－－1

＝－－1＝0.

(2)原式＝－a－b－3÷

＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－

＝－·＝－.