新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.5函数性质的综合应用（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.5函数性质的综合应用（含答案解析），共18页。
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 (2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)恒成立，f(2)＝16，则满足f(m)≤4m2的实数m的取值范围为 .
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
跟踪训练1 已知函数f(x＋1)是R上的偶函数，且f(x)在(－∞，1]上单调递减，a＝f(－1)，b＝f(e2)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.a>c>bD.b>a>c
题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 (多选)(2024·苏州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则( )
A.f(2 024)＝－1
B.f(x)的值域为[－1，2]
C.f(x)在[4，6]上单调递减
D.f(x)在[－6，6]内有8个零点
思维升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练2 (2025·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则( )
A.f(6)g(x2)，
所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以对任意的x∈R，
g(－x)＝f(－x)－4(－x)2
＝f(x)－4x2＝g(x)，
所以函数g(x)为R上的偶函数，
且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0，
由f(m)≤4m2，
可得f(m)－4m2≤0，
即g(m)≤g(2)，
即|m|≤2，
解得－2≤m≤2，
所以实数m的取值范围为[－2，2].
跟踪训练1 D [因为函数f(x＋1)是R上的偶函数，
所以函数f(x＋1)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
因为a＝f(－1)＝f(3)，b＝f(e2)，c＝f(2)，
e2>3>2，
所以f(e2)>f(3)>f(2)，
即b>a>c.]
例2 AB [函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，对于A，f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确；
对于B，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，f(x)的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以f(x)在[－2，0]上的值域也为[－1，2]，又f(x)是一个周期为4的周期函数，所以f(x)的值域为[－1，2]，所以B正确；
对于C，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又f(x)的一个周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；
对于D，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于f(x)的一个周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]内有6个零点，所以D错误.]
跟踪训练2 B [∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)
＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期为4的周期函数，
∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，
f(－7)＝f(1)，f 112＝f 32
＝－f −12＝f 12，
又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，
∴f(0)